幾何ブラウン運動

幾何ブラウン運動 (Geometric Brownian Motion)

幾何ブラウン運動（きかブラウンうんどう、英: geometric Brownian motion; GBM）は、経済や金融における重要な確率過程であり、特に金融市場のモデル化やオプション価格の算出に広く用いられています。具体的には、これは対数変動が平均μ、分散σのブラウン運動に従う連続時間の確率過程です。その名の通り、幾何ブラウン運動の特徴はその増分が運用資産の比率として表現されるため「幾何」という名前が付けられています。

定義

幾何ブラウン運動は、次の確率微分方程式によって定義されます。

$$
dS_{t}=rac{ heta S_{t}}{dy}+rac{eta S_{t}}{dz}
$$
ここで、$dS_{t}$は資産の増減額、$ heta$は資産の期待収益率、$eta$は資産のボラティリティ、また$S_{t}$は時点$t$における資産の価格を示します。\
したがって、ドリフト項$μ S_{t} ext{dt}$は安定的な方向性変動を表す一方で、$eta S_{t} ext{dB}_{t}$は予想外の影響を考慮します。一般的に、ボラティリティが0である場合、すなわち$p=0$の場合、資産の価格は次のように表現されます。
$$
S_{t} = S_{0}e^{ heta t}
$$

この確率微分方程式は、伊藤の公式を利用して次のようによみかえられます。

$$
d ext{log}(S_{t}) = igg( heta - rac{eta^{2}}{2}igg) ext{dt} + eta ext{dB}_{t}
$$

解の導出

初期値を$S_{0}$とする場合、幾何ブラウン運動の解は下記のように表現できます。

$$
S_{t} = S_{0} ext{exp}igg(igg( heta - rac{eta^{2}}{2}igg)t + eta B_{t}igg)
$$

ここで$B_{t}$はブラウン運動の経過を示します。

統計的性質

幾何ブラウン運動の特徴的な性質として、確率変数$ ext{log}(S_{t}/S_{0})$は、平均$( heta - rac{eta^2}{2})t$、分散$eta^2t$に従う正規分布となります。

これらの情報から、期待値や分散を表す式が導かれます。

• - 期待値：

$$
E(S_{t}) = e^{ heta t}S_{0}
$$

• - 分散：

$$
Var(S_{t}) = e^{2 heta t}S_{0}^{2}(e^{eta^{2}t} - 1)
$$

非整数ブラウン運動への拡張

さらに、ブラウン運動$B_{t}$を非整数ブラウン運動$B_{H,t}$に拡張する時、次の確率微分方程式が成り立ちます。

$$
dS_{t} = heta S_{t}d t + eta S_{t}dB_{H,t}
$$
解は次のように表されます。

$$
S_{t} = S_{0} ext{exp}igg( heta t - rac{1}{2}eta^{2}t^{2H} + eta B_{H,t} igg)
$$

ようやく、このようにして幾何ブラウン運動は金融と経済において非常に重要な役割を果たしています。特に用途として、オプション価格の算出モデルやリスク管理に深く関与しています。

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