ボルツマン因子

ボルツマン因子について

ボルツマン因子（英: Boltzmann factor）とは、特定の温度T において熱平衡にある系に関連して存在する微視的状態の確率を定義する重要な概念です。この因子は、カノニカル分布という形式に基づいており、具体的にはエネルギーを持つ微視的状態がどれだけ存在するかを表しています。

ボルツマン因子の定義

ボルツマン因子は次の式で表されます:

$$
P(ω) = \frac{1}{Z} \exp(-\beta E(ω))
$$

ここで、P(ω) は微視的状態 ω の確率、E(ω) はその状態に関連するエネルギー、β は逆温度であり、次のように定義されます:

$$
\beta = \frac{1}{k_B T}
$$

この時、k_B はボルツマン定数、T は絶対温度を示します。また、Z は分配関数と呼ばれ、全ての状態のボルツマン因子の総和で、次のように表されます:

$$
Z = \sum \exp(-\beta E(ω))
$$

ボルツマン因子は、微視的状態の間における相対的な確率を与える重みのような役割を果たします。

エネルギー状態の確率

特定のエネルギーEを持つ状態が存在する確率P(E)は、エネルギーの状態が一意でない場合（縮退している場合）と一意である場合で異なります。状態が一意である場合、確率P(E)は次のように表されます:

$$
P(E) = \frac{1}{Z} \exp(-\beta E)
$$

もし状態が縮退している場合、この確率はその多重度を考慮に入れる必要があり、次のようになります:

$$
P(E) = \frac{1}{Z} g(E) \exp(-\beta E)
$$

ここで、g(E)はエネルギーEにおける縮退度を示します。

ボルツマン因子の導出

ボルツマン因子の導出は、系とそれより大きな熱浴との関係から始まります。系は微視的状態 ω_i にあり、そのエネルギーは E_S = E(ω_i) となります。一方、熱浴のエネルギーは ER であり、エネルギー保存法則から全エネルギーEは次のように表されます:

$$
E = E_S + E_R = const
$$

ここで、熱浴は系よりも非常に大きいため、ER ≫ ES です。この過程では、系が異なる微視的状態にある場合の確率の比を考慮し、次のような関係を導出します:

$$
\frac{P(ω_2)}{P(ω_1)} = \frac{Ω_R(E - E(ω_2))}{Ω_R(E - E(ω_1))}
$$

ここで、Ω_R は熱浴の状態数を示します。エントロピーとの関係を考慮すると、状態数はエントロピー S_R に関連しており、最終的には ボルツマン因子が確率の形式として導出されます。これは、ボルツマン因子が確率の分配法則に従う重要な役割を持つことを示しています。

重要な注釈

ボルツマン因子そのものは規格化されていないため、確率を表すものではありません。規格化を行うと、全てのボルツマン因子の和が1になるように、分配関数の逆数が必要になるため、最終的には規格化されたボルツマン因子がボルツマン分布を形成するわけです。ボルツマン因子は、古典的な粒子のマクスウェル＝ボルツマン分布や、量子力学におけるボース粒子およびフェルミ粒子の分布も導く基礎的な概念となっています。

出典

この知識に関する詳細な理解は、Charles KittelとHerbert Kroemerによる『Thermal Physics』の第2版に記載されています。

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