ボレルの不動点定理

ボレルの不動点定理

ボレルの不動点定理は、代数幾何学における基本的な結果の一つであり、リー＝コルチンの定理の一般化として位置づけられます。この定理は、1956年にフランスの数学者アルマン・ボレルによって証明されたものです。

定理の概要

ボレルの不動点定理は、特定の条件下での連結可解代数群の作用によって、対象となる多様体に不動点が存在することを示しています。具体的には、代数的閉体 k 上の空でない完備代数多様体 V に対して、G がこの V 上に正則に作用する連結可解代数群であるならば、V には G の不動点が必ず存在する、という内容です。この定理は、数学における不動点理論の重要な進展を示しています。

基本概念の説明

代数的閉体: 代数的閉体とは、代数方程式の解が必ず存在する体のことを指します。例えば、複素数体は代数的閉体の一例です。
完備代数多様体: 完備代数多様体とは、特定の条件を満たす多様体であり、直観的には一種の「閉じた」空間を構成します。これにより、数学的な研究が進められます。
* 連結可解代数群: 代数群とは、数理的な意味での群であり、連結可解であるとは、群の構造が特定の性質を持ち、簡単に扱えることを指します。

定理の意義

ボレルの不動点定理は、代数幾何学や群論の多くの応用を含む、様々な数学の分野での重要な基礎を築いています。特に、代数的な構造や幾何学的性質を持つオブジェクトに対する群の作用を理解する際に、この定理は大いに役立ちます。

参考文献と外部リンク

この定理に関する詳細な文献として、ボレル自身による1956年度の論文「Groupes linéaires algébriques」があります。また、数学百科事典の「Borel fixed-point theorem」も参考になる資料として挙げられます。

• - 参考文献:

- Borel, Armand (1956). “Groupes linéaires algébriques”. Ann. Math. (2) (Annals of Mathematics) 64 (1): 20–82. doi:10.2307/1969949. JSTOR 1969949. MR0093006.

• - 外部リンク:

- V.P. Platonov (2001) [1994], “Borel fixed-point theorem”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

このように、ボレルの不動点定理は、数学における不動点の理解を深め、代数的構造を持つ多様体の性質に迫る鍵となる理論です。

もう一度検索