代数群

代数群とは

代数群（algebraic group）とは、代数幾何学において、代数多様体であると同時に群としての構造を持つ数学的対象です。さらに重要な条件として、その群の演算、すなわち積（乗法）と逆元を取る操作が、代数多様体上の写像として正則写像（多項式によって定義されるような滑らかな写像）である必要があります。このように、代数群は幾何学的な構造（多様体）と代数的な構造（群）が調和した対象と言えます。

抽象的な言葉で表現すると、代数多様体の圏における群対象が代数群に相当します。

代表的なクラス

代数群には様々な種類があり、その性質に応じていくつかの重要なクラスに分けられます。例として、以下のようなものが挙げられます。

有限群
複素数体 $\mathbb{C}$ 上の可逆な $n \times n$ 行列全体のなす一般線型群 $GL(n, \mathbb{C})$
ジェット群
楕円曲線

これらのうち、特に重要で研究が進んでいるのは、主に二つの大きなクラスです。一つは「射影的」な代数多様体であるアーベル多様体、もう一つは「アファイン的」な代数多様体である線型代数群です。もちろん、このどちらにも分類されない例も存在します。例えば、ワイエルシュトラスのゼータ関数の現代理論や、より一般的なヤコビ多様体の理論に現れる代数群などがこれに該当します。

しかし、クロード・シュバレーによる構造定理は、任意の代数群がこれら二つのクラスの組み合わせで理解できることを示しています。具体的には、体 $K$ 上の任意の代数群 $G$ に対して、線型代数群である閉正規部分群 $H$ が一意に存在し、剰余群 $G/H$ がアーベル多様体となるという定理です。これは、どんな代数群も線型代数群によるアーベル多様体の「拡大」として捉えられることを意味します。

アファイン代数群

アファイン多様体の圏における群は、忠実な有限次元線型表現を持つという基本的な定理があります。これは、体 $K$ 上のアファイン代数群は、行列の乗法を群演算とするような、$K$ 上の多項式で定義される行列群として具体的に扱うことができるということです。したがって、体上ではアファイン代数群の概念は、行列群というより具体的な対象として定義することが可能です。

ただし、これは体上で考える場合の話であり、実数体上で考えると、アファイン代数群はリー群よりも狭いクラスになります。なぜなら、リー群の中には、忠実な線型表現を持たない例（例えば、2次特殊線型群の普遍被覆など）が存在するからです。また、アファイン代数群 $G$ の単位元を含む連結成分は、$G$ 全体の中で有限の指数を持たなければならない、という違いも挙げられます。

群スキーム

さらに一般的に、可換環 $R$ 上で代数群のような構造を考えたい場合には、「群スキーム」という概念が用いられます。これは、$R$ 上のスキームの圏における群対象として定義されます。特に、アファイン群スキームは、ホップ代数の概念と双対的な関係にあります。群スキームの理論は非常に精緻であり、アーベル多様体の現代的な理論など、様々な分野で応用されています。

部分代数群

代数群の「部分代数群」は、元の代数群のザリスキ閉な部分群のことを指します。多くの場合、さらに連結（多様体として既約）であるという条件が付加されます。これは、部分多様体でもあるような部分群と言い換えることもできます。

多様体ではなくスキームの言葉でこれを一般化すると、非被約スキームである部分群や、連結成分の指数が1より大きいような部分群も許容されるようになります。

他分野との関連

代数群の研究は、他の数学分野とも関連が深いです。例えば、コクセター群との間には興味深い類似性が見られます。対称群の元の個数が $n!$ であることと、有限体上の一般線型群の元の個数が $q$ 階乗 $[n]_q!$ で与えられることから、対称群を「1つの元を持つ体」（一元体）上の線型群と見なすというアイデアがあり、これによりコクセター群を一元体上の単純代数群として捉える試みなどがあります。

関連する概念として、代数位相、ボレル部分群、Morley階数などが挙げられます。

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