ポッホハマー記号

ポッホハマー記号

ポッホハマー記号とは、解析学において特別な役割を果たす記号であり、主にレオ・オーギュスト・ポッホハマーに由来しています。この記号は特殊関数だけでなく、組合せ論や超幾何級数論にも応用されます。記号の表現方法は多様で、さまざまな分野で異なる形式が使用されることがあります。

記法のバリエーション

ポッホハマー記号は、次のように異なる表記で示されます。

• - 組合せ論では、`x^{(n)}` という形が使われます。
• - 解析学や特殊関数論では、`(x,n)` または `(x)_n` の形式が一般的です。
• - その他の形式としては、`x^{ar{n}}`（昇冪）と `x^{ ilde{n}}`（降冪）があります。

また、昇冪は数式の中で次のように定義されます。

$$
(x)_n = ext{プロダクト}_{j=0}^{n-1}(x + j) = x (x + 1)(x + 2) imes ext{...} imes (x + n - 1)\
$$

降冪の場合は次のように表現されます。

$$
(x)_n = ext{プロダクト}_{j=0}^{n-1}(x - j) = x (x - 1)(x - 2) imes ext{...} imes (x - n + 1)\
$$

混乱しやすいため、数学の文脈に応じて昇冪を `(x)_n`、降冪を `(x)^{(n)}` のようにそれぞれ表記することもあります。

ポッホハマー記号の性質

ポッホハマー記号 `(x, n)` は、定義された冪の関数であり、その特性として主に次のような点があります。
1. これは有理型の関数で、素数性や共通根を持つ式として示されます。
2. `(-z, n)` の形では、変数の符号を反転させると、`(-1)^{n}(z - n + 1, n)` という関係が成り立ちます。
3. 降冪の関係において、`(x, -n)` は `(-1)^{n} * 1/(1-x, n)` という関係が成り立ちます。

特殊値と応用

ポッホハマー記号は、特定の形式や値に基づいてさまざまな機能を持ちます。例えば、`(1, n) = n!` といった式は、自然数 `n` の階乗を示しており、同样の特殊値が存在します。さらに、二項係数との関連性も重要であり、次のように関連付けられます。

$$
{z race n} = rac{(-z)_{n}}{n!}\
$$

応用は広範囲にわたり、ポッホハマー記号は函数の冪級数展開にも利用されます。例えば、ニュートンの二項級数は以下のようにのように示されます。

$$
(1 - z)^{a} = ext{総和}_{k=0}^{orall} rac{(-a)_{k}}{k!} z^{k}\\ |z| < 1
$$

このように、ポッホハマー記号はさまざまな数学の分野で基本的かつ広範な応用を持つ重要な記号であります。関連する研究や文献も多く、数学の発展において中心的な役割を果たしています。

参考文献

• - Pochhammer, L. (1888). “Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten”.
• - Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science.
• - Graham et al., コンピュータの数学 (第2版).

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