マルコフ確率場

マルコフ確率場について

マルコフ確率場（Markov Random Field; MRF）は、無向グラフを用いて確率変数の集まりを表現する手法です。これは、特定のマルコフ性を持つ確率変数の集合であり、多くの異なる応用が存在します。マルコフ確率場において、確率変数の依存関係は、ベイジアンネットワークでの有向非巡回性とは異なり、無向であることが特徴です。これにより、帰納的な性質を持つ従属性を表現することができます。

定義と性質

マルコフ確率場は、無向グラフ $G = (V, E)$ と変数の集合 $X = (X_v)_{v ext{ ∈ } V}$ に基づいて構成されます。この集合が特定のマルコフ性の仮定、つまりペアワイズマルコフ性、局所マルコフ性、大域マルコフ性を満たすとき、マルコフ確率場となります。

• - ペアワイズマルコフ性: 隣接していない任意の二変数 $X_u$ と $X_v$ が、その他のすべての変数を与えたときに条件付きで独立となることを指します。
• - 局所マルコフ性: ある変数 $X_v$ に直接接続されている変数が条件付けられた場合、その変数 $X_v$ はその他すべての変数と条件付き独立になります。
• - 大域マルコフ性: 確率変数の任意の二つの部分集合が、特定の条件を持つ他の部分集合が与えられた際に条件付きで独立であることを指します。

これらのマルコフ性は互いに等価ではなく、特に大域マルコフ性は局所マルコフ性より強い条件です。一方で、同時分布が狭義正測度であれば、これらの性質は同じものとなります。

ギブス確率場との関連性

マルコフ確率場は、確率変数同士の同時確率が狭義正測度である場合、ギブス確率場と称されます。これは、Hammersley-Clifford定理に基づいたもので、確率変数同士の同時確率が正のマルコフ確率場は、適切なエネルギー関数を使って表現できることを意味しています。こうした特性から、未定義な領域や規模の取得が可能となり、複雑な問題解決に寄与します。

クリーク分解

確率変数の集合がバックボーンとなり、確率の取り方を分析する際には、グラフのクリーク分解が重要です。ある値を取る確率は、基の確率変数の同時確率で表現される場合、それがクリークへと分解可能であれば、全体の確率は「$P(X=x)=
\prod_{C \in \mathrm{cl}(G)} \phi_C(x_C)$」の形になります。ここで、$\mathrm{cl}(G)$はグラフ内のクリークの集まりを示します。この分解が可能である際には、大域マルコフ性が成立し、その結果としてマルコフ確率場が成り立つのです。

応用と未来展望

マルコフ確率場は、画像処理、情報理論、機械学習などの分野で広く用いられています。特に、ボルツマンマシンに代表されるように、深層学習の文脈での活用も増えてきています。今後も多様な応用を見込み、さらに研究が進むことでしょう。

マルコフ確率場は高次の確率モデルにおいて、重要な役割を果たし続けることが期待されています。

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