マルコフ性

マルコフ性とは

マルコフ性、またはマルコフの性質とは、確率過程において、未来の状態が過去の履歴に依存せず、現在の状態のみに基づいて予測される特性を指します。この特性は、ロシアの数学者アンドレイ・マルコフにちなんで名付けられました。

具体的には、任意の時点での過去の状態が与えられた場合、その時点の状態だけで次の状態を予測することができるというものです。これは、数式で表すと次のようになります：

$$
ext{Pr}[X(t+h) = y | X(s) = x(s), orall s
ightarrow t] = ext{Pr}[X(t+h) = y | X(t) = x(t)], orall h > 0.
$$

このように、マルコフ性を持つ確率過程は「マルコフ過程」と呼ばれ、代表的なものに「マルコフ連鎖」があります。マルコフ連鎖は、状態変数の取り得る値が離散的であることが特徴です。また、連続時間のマルコフ過程もあります。

マルコフ過程には、斉時的（time-homogeneous）なものと非斉時的（time-inhomogeneous）なものの2つのタイプがあります。斉時的なマルコフ過程は、時間に依存しない一定の遷移確率を持ちます。これを数式で表すと、次のようになります：

$$
ext{Pr}[X(t+h) = y | X(t) = x] = ext{Pr}[X(h) = y | X(0) = x], orall t, h > 0.
$$

一方で、非斉時的マルコフ過程は、時間によって遷移確率が変わるため、一般には斉時的なものよりも複雑とされます。

ただし、マルコフ性を持たない過程も、特定の条件のもとでマルコフ的に表現できる場合があります。たとえば、非マルコフ過程を、別の過程を通じて改善することで、間接的にマルコフ過程として扱うことができます。この際、状態間の時間間隔を定義し、新たな過程Yを構成することが考えられます。

$$
Y(t) = ig\{X(s) : s ext{ is in } [a(t), b(t)] \big\}.
$$

この過程Yがマルコフ性を持つ場合、元の過程Xを「二階マルコフ過程」と呼ぶことができます。さらに、高階のマルコフ過程も同様の手法で定義可能です。

マルコフ過程として特に良く知られているのは、マルコフ連鎖ですが、その他にも様々な形式が存在しています。たとえば、ブラウン運動（Brownian motion）もマルコフ性を持つ確率過程の一例です。これらの確率過程は、経済学、物理学、情報科学など広く応用され、重要な役割を果たしています。

関連項目

• - マルコフ過程
• - マルコフ連鎖
• - マルコフ再生過程
• - マルコフ決定過程
• - 確率過程
• - マルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC)

以上のように、マルコフ性は確率論における重要な概念であり、様々な分野での分析や予測に利用されています。

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