マルサスモデル

マルサスモデルとは

マルサスモデル（英: Malthusian model）は、特定の生物種の個体数、もしくは個体群のサイズが時間とともにどのように変化するかを数学的に表現したモデルです。この考えは、1798年にトマス・ロバート・マルサスが発表した著書『人口論』に基づいており、その名が付けられました。一般的には、マルサスが提唱した人口原理に基づき、人口と経済との相互関係を探るためのモデルも含まれています。

モデルの仕組み

マルサスモデルにおいては、個体数の増加速度（人間の場合は人口の変化）がその個体数自身に比例するという仮定があります。この関係は、次のような数式で表されます。

$$
\frac{dP}{dt} = mP
$$

ここで、$P$は個体数、$t$は時間、$m$は定数で、「マルサス係数」と呼ばれます。この式を解くことで、次のような結果が得られます。

$$
P = P_0 e^{mt}
$$

初期状態（$t=0$）における個体数を$P_0$とすると、マルサス係数$m$が正であれば、個体数は指数的に増加し続けることがわかります。この現象は「マルサス増殖」とも呼ばれ、個体数が急速に増加する様子を表現します。

さらに、マルサス係数$m$の生物学的な意味を考えると、これは出生や分裂による個体数の増加率と、死亡や分解による個体数の減少率の差として解釈できます。具体的には、繁殖率を$b$、死亡率を$d$とした場合に、$m = b - d$という関係が成り立ちます。このため、$b$と$d$はともに正の値です。

マルサスは、人間の人口は幾何級数的に増加する一方で、食糧の生産は算術級数的にしか増加しないことを指摘しました。これに基づき、彼は人口の急増が食糧不足を招く可能性を示唆しました。ただし、伊藤嘉昭によると、マルサスモデルの基礎となる数式自体は1677年にイギリスの人口学者ヘールによって初めて設立されたとも言われています。

離散型と派生型

前述のマルサスモデルは、個体数の世代交代が連続的に行われるという前提に基づいていますが、昆虫など特定の生物では、世代交代が一斉に発生することもあります。その場合、個体数の変動を表現するためには、時間$t$を整数値とし、飛び飛びの時間で考える必要があります。この形式では、$t$を世代数とし、$P_t$を$t$世代における個体数とすると、離散型のマルサスモデルの解は以下のように表記されます。

$$
P_{t+1} = mP_t
$$

$$
P_t = P_0 m^t
$$

マルサスモデルにおいて無限に個体数が増加し続けるというのは、現実的には不可能です。この課題を解決するためには、個体数が特定の限界値に収束する発展的なモデルが必要です。その一例として、ピエール＝フランソワ・フェルフルストによって提唱されたロジスティック方程式があります。一度に多くの個体が死亡することを考慮し、最終的に個体数が有限の値に達するという考え方です。

$$
\frac{dN}{dt} = r \left(\frac{K-N}{K}\right) N
$$

ここで、$K$は環境収容力を表し、その生息環境が持つ最大個体数の許容範囲を示しています。このロジスティック方程式は、個体数が時間経過と共にどのように変化するかをさらに現実的にモデル化したものとして、幅広く用いられています。

参考文献

• - 人口研究会（編）、2010、『現代人口辞典』初版、原書房 ISBN 978-4-562-09140-9
• - 日本数理生物学会（編）、瀬野裕美（責任編集）、2008、『「数」の数理生物学』初版、共立出版〈シリーズ 数理生物学要論 巻1〉 ISBN 978-4-320-05675-6
• - 巌佐庸、1990、『数理生物学入門―生物社会のダイナミックスを探る』初版、HBJ出版局 ISBN 4-8337-6011-8
• - ほか

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