マルチンゲール

マルチンゲールの概要

マルチンゲール（英語: martingale）は、確率論で用いられる重要な概念の一つで、過去の情報を基に計算された期待値と未来の期待値が等しいという性質を持つ確率過程を指します。この概念は、主に賭け事における持ち金の変化を扱う際に利用されます。具体的には、賭けにおける戦略の一つである「マルチンゲール法」とも関連しているため、その名がつけられました。

数学的定義

マルチンゲールは、連続時間の場合と離散時間の場合で異なる定義を持ちます。

連続時間マルチンゲール

連続時間の場合、時刻の集合は T = [0, ∞) であり、情報の増大系 {Ft} を考えます。このとき、実数値の連続時間確率過程 Xt がマルチンゲールであるための条件は次の通りです。
1. 任意の時刻 t において、Xt は Ft 可測である。
2. 任意の時刻 t において、Xt は可積分である。
3. 任意の時刻 t > s に対して、条件付き期待値 E[Xt|Fs] = Xs が成立する。

離散時間マルチンゲール

離散時間の場合は、時刻の集合を T = {1, 2, 3,…} とし、情報の増大系 {Fn} を考えます。この場合、実数値の離散時間確率過程 Xn がマルチンゲールであるための条件は次の通りです。
1. 任意の時刻 n において、Xn は Fn 可測である。
2. 任意の時刻 n において、Xn は可積分である。
3. 任意の時刻 n に対して、条件付き期待値 E[Xn+1|Fn] = Xn が成立する。

これらの条件から、まず Xt が Ft から得られる情報よりも多くの情報を与えないこと、次に条件付き期待値が定義できること、そして最後に確率過程が公平な賭けであることが明示されます。

具体例

離散時間マルチンゲールの実例として、偏りのないコインを投げ続けた際の n 回目の結果を Xn と定義しましょう。コインが表なら1、裏なら-1とします。情報増大系は X 以外の情報を持たないと仮定します。この場合、X 自体がマルチンゲールとなり、その和 Sn もまたマルチンゲールになります。Sn は、コインの表に毎回1円を賭けた際の n 回目での持ち金を示します。

さらに、賭け金を現在の持ち金の関数として変更した場合、初期資金 T0 を使っても Tn は依然としてマルチンゲールとされます。これを「マルチンゲール変換」と呼び、実行可能な戦略を通じて得られる確率過程も引き続きマルチンゲールであることが証明されています。

停止時刻

停止時刻（またはマルコフ時刻）とは、賭けをやめる時刻を数学的に定式化した概念です。未来の賭け結果を知ってからやめることはできませんが、過去の出来事をもとに停止時刻を決定することが可能です。例えば、「さっきカラスが鳴いたから今やめる」というような条件が考えられます。数学的には、T ∪ {∞} に値を持つ確率変数 τ が停止時刻であるとは、任意の時刻 t に対して {τ ≤ t} が Ft に属する必要があります。

任意抽出定理

離散時刻における任意抽出定理について触れます。ここでは、σ と τ が σ ≦ τ を満たす停止時刻であるとし、Yτ ∧ n が一様可積分な劣マルチンゲールである場合、この理論が成立します。これは、任意の条件付き期待値として表現されることが知られています。具体的には、τ ∧ n は min(τ, n) を意味し、その条件を満たす限り、各式が成り立つことを示しています。

要するに、マルチンゲールは賭け事の数学的解析において中心的な役割を果たし、その性質や応用は様々な分野で重要とされています。

もう一度検索