期待値

期待値の概念

確率論における期待値とは、確率変数が取る値に確率を考慮した加重平均を意味します。これは、一般的に賭博などで得られる賞金の見込みを算出する際に用いられます。期待値は、確率変数に関連する関数の概念を取り入れています。期待値は、離散型確率変数および連続型確率変数に対してそれぞれ異なる方法で定義されます。

定義

離散型確率変数

離散型確率変数は、可算な個数の値を取るものと定義されます。この場合、確率空間 \((Ω, F, P)\) において、確率変数 \(X\) が各値 \(x_i\) を取る確率が \(P(X = x_i)\) のとき、期待値は次のように表現されます：

\[
E[X] = \sum_{i=1}^{∞} x_i P(X = x_i)
\]

このようにして、確率変数が取る各値にその確率を掛け合わせて総和を求めます。

連続型確率変数

連続型確率変数は、実数のように連続的な値を取ります。この場合、確率変数 \(X\) の期待値は次のように定義されます：

\[
E[X] = \int_{Ω} X(ω) dP(ω)
\]

この式は、積分を用いて確率変数が取る値に確率を掛け合わせることを示しています。連続型の場合、確率密度関数が決まっていることを前提としています。

性質

期待値にはいくつかの重要な性質があります。特に、期待値は以下の性質を持ちます：

• - 線形性：\(E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]\)
• - 単調性：\(X ≤ Y ならば E[X] ≤ E[Y]\)
• - イェンセンの不等式：凸関数に対して\(φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]\)
• - 独立性：独立な確率変数の場合、\(E[XY] = E[X]E[Y]\)

このように、期待値は加算やスカラー倍においても明確な性質を持つため、多くの計算や理論の基礎となります。

計算方法

期待値を計算する際、連続型確率変数においては、確率変数の分布を考慮して積分を行います。任意の可測関数 \(f\) に対して、期待値は以下のように計算されます：

\[
E[f(X)] = \int_{Ω} f(X(ω)) dP(ω) = \int_ℝ f(x) P_{X}(dx)
\]

例

1. サイコロの期待値：例えば、6面サイコロを1回振った場合、出る目の期待値は次のように計算されます：

\[
E[X] = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5
\]

2. 賞金の期待値：あるゲームでは、100円払ってサイコロを振り、その出た目に応じた金額がもらえます。この場合、期待値は次のようになります：

\[
E[X] = 20 \times \frac{1}{6} + 50 \times \frac{1}{6} + 100 \times \frac{1}{6} + 100 \times \frac{1}{6} + 150 \times \frac{1}{6} + 150 \times \frac{1}{6} = 95
\]

この結果から、参加費100円よりも期待値が低いため、長期的には損をすることが示されます。

結論

期待値は確率論の重要な概念であり、リスクを考慮した意思決定の根拠とされています。その性質や計算方法を理解することで、さまざまな場面での応用が可能となります。

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