メルカトル級数

メルカトル級数

この文では、メルカトル級数、またはニュートン＝メルカトル級数について解説します。この級数は自然対数に関連するテイラー級数であり、次のように表現されます。

\[
ext{ln}(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots
\]

総和記法で示すと、以下の通りになります。
\[
ext{ln}(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^{n}
\]

この級数は、\(-1 < x \leq 1\) の範囲で自然対数に収束します。

歴史

メルカトル級数は、ヨハネス・フッデとアイザック・ニュートンによりそれぞれ独立に発見されたものです。この数学的表現は、1668年にニコラス・メルカトルの著書『対数術』で初めて公開されました。

導出法

この級数はテイラーの定理を用いて導出されます。まず、自然対数の関数\(\text{ln}(x)\)の導関数を考えます。\(x=1\)での導関数は次のように表されます。

\[
\frac{d}{dx} \text{ln}(x) = \frac{1}{x}
\]

ここから、帰納的に計算を行うことでメルカトル級数を導出できます。また、有限等比級数の計算を利用する方法もあります。

特殊例

特に、\(x=1\)の場合、メルカトル級数は交代調和級数に帰着されます。これは、次のように表されます。
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \text{ln}(2)
\]

複素級数

また、メルカトル級数は複素数に対しても考察されます。複素冪級数は、\(\text{log}(1-z)\)に対するテイラー展開と考えることができ、\(|z| \leq 1, z
eq 1\)の範囲で収束します。この理論を基に、ダランベールの収束判定法等を用いることで、収束の性質をより深く理解することが可能です。

関連項目

メルカトル級数に関連する項目として、ジョン・クレイグの業績なども挙げられます。

参考文献

• - Weisstein, Eric W. “Mercator Series”. mathworld.wolfram.com
• - Anton von Braunmühl (1903) Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie, Seite 134.
• - Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.

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