総和

総和の概念

数学において「総和」という用語は、特定の数の集まりの合計値を表すものです。与えられた数に対して、合計を求める操作にはいくつかのルール、すなわち交換法則と結合法則が存在し、これにより結果は一意に決まります。特に、加法における順序は重要ではなく、数を加える順番に関係なく、同じ結果が得られます。

無限和の課題

無限に数を足す際の問題は、18世紀以前までさかのぼります。この時期の数学者たちは、無限個の数に対しても、通常の有限の和と同じように扱う傾向にありました。このため、奇妙な論理的矛盾が生まれることがありました。実際、無限和を正しく扱うためには、19世紀になってから、ディリクレやリーマン、コーシーなどの数学者が極限の概念を発展させる必要がありました。

総和の定義

総和は、数が定義された集合から選ばれた元々なる列に対して計算される操作です。次のように再帰的に定義されます：

• - 第1項を s1 とし、s1 = x1
• - i 番目の部分和 si は、si = si−1 + xi （i = 1, 2, ..., n）の形で定まります。

ここで、n が有限である場合、このプロセスは最終的に部分和 sn まで進みます。総和は、記号 Σ を使って次のように表されます。

$$s_{n} = rac{ ext{合計}}{i=1}^{n}x_{i}$$

この Σ はギリシャ文字のシグマの大文字で、レオンハルト・オイラーによって初めて使用されました。この記法はラテン語「Summa」の頭文字に由来しています。さらに、Σ の上下にある添え字は、i の値を1から nまで動かすことを示しています。総和は、また線型性という性質を持っています。すなわち、以下のような形に表現されます：

$$ ext{総和の線型性}
egin{align*}
ext{1. } & ext{ }rac{ ext{合計}}{i=a}^{b}(x_{i}+y_{i}) = rac{ ext{合計}}{i=a}^{b}x_{i} + rac{ ext{合計}}{i=a}^{b}y_{i} \\
ext{2. } & ext{ }rac{ ext{合計}}{i=a}^{b}λx_{i} = λrac{ ext{合計}}{i=a}^{b}x_{i} \\
ext{ (ここで λ は定数)}
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ext{ (左の式は部分和の合計、右は分配法則)}
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また有限集合 R の濃度を n とし、その全ての元に番号を付けて x1, x2, ..., xn とすることで、R の元に対する総和も記述できます：

$$ ext{集合 R の総和} = rac{ ext{合計}}{x∈R}x = rac{ ext{合計}}{i=1}^{n}x_{i}$$

この記法は、R が空集合であっても適用可能です。特に、和が含まれる集合においてゼロ元が定義されている場合、あるいは基点が設けられているとき、空集合を扱う際の総和としてはゼロが使われます：

$$ ext{空集合の総和} = 0$$

級数

有限和を無限の場合に拡張することによって、級数の概念が生まれます。これは特に無限和（infinite sum）と呼ばれ、無限級数（infinite series）に分類されます。無限級数では、元が無限個にわたるため、部分和の算出が無限回にわたり続きます。そのため、部分和の収束または発散によって級数の特性が決定されます。合計が収束する場合、その級数の和が元の列の合計と見なされます。

可算列の和は以下の記号で表されます：

$$rac{ ext{合計}}{i=1}^{∞}x_{i}$$

これにより、可算無限集合のすべての元に対しても、同様の形で級数の概念を定義できます。さらに一般的に、無限集合においても添字付けられた数の族の総和を定式化可能ですが、この場合には収束性について慎重な検討が必要です。

絶対収束と条件収束

無限数列の場合、級数が絶対収束（converge absolutely）するとも言います。この定義では、絶対収束とは、各項の絶対値の級数が収束する場合を指します。絶対収束が確認される場合、和の順序を変えても結果は変わりません。もし条件収束（converge conditionally）に過ぎない場合、その和の順序を変えた際に結果が変わる可能性があります。

このように、無限和の場合には和の順序が重要な要素となることがあります。最終的に、総和の理解は数学の多くの分野において対象の性質を明らかにする手助けをすることになります。

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