モストフスキ崩壊補題

モストフスキ崩壊補題

モストフスキ崩壊補題は、数理論理学や集合論における重要な命題であり、アンジェイ・モストフスキの名に因んで名付けられました。この補題は特定の条件を満たす二項関係に対して、推移的クラスとの同型性が存在することを示します。

概要

まず、RをクラスX上の二項関係とし、以下の3つの条件を満たすとします。
1. 集合状性: Rの逆関係R−1[x]は必ず集合となります。これは、あるxに対してその逆関係が集合であることを意味します。
2. 整礎性: 空でない部分集合Sに対して、R-極小要素が存在します。これは、R−1[x] ∩ Sが空になるようなx ∈ Sが存在することを示しています。
3. 外延性: Xの異なる二元x,yに対して、R−1[x]とR−1[y]は常に異なる集合になります。

これらの条件を満たすRに対し、モストフスキ崩壊補題は、推移的クラスMがあり、(M,∈)と(X, R)が同型であることを保証します。さらに、この同型関係は一意的であることも示されています。モストフスキ崩壊関数Gは、次のように定義されます。

G(x)={G(y):yRx}

この関数は、Rの性質を基に定義され、整礎的かつ集合状な関係における重要な役割を果たします。

一般化

整礎的かつ集合状な関係は、整礎的かつ外延的な関係に埋め込まれることができます。この性質は、整礎的かつ集合状な関係があるクラス上の∈-関係と同型であることを導き出します。その際、このクラスは必ずしも一意的である必要はなく、推移的である必要もありません。

また、写像F(x) = {F(y) : y R x}は再帰によって定義可能であり、整礎的かつ集合状なRに対して推移的クラスへの準同型写像を提供します。この映像が同型となるのは、Rが外延的であるときです。さらに、整礎性の条件は、整礎性を用いない部分集合論では緩和や除外が可能です。

ボッファの集合論においては、集合状かつ外延的な関係は推移的クラス上の∈-関係と同型であると言われています。一方で、アクゼルの反基礎公理を持つ集合論では、集合状な関係は一意的な推移的クラス上の∈-関係と双模倣的であることが知られています。このことから、bisimulation-極小な集合状関係は何らかの一意的な推移的クラスと同型となります。

応用

モストフスキ崩壊補題は、ZF（ツェルメロ・フレンケル）集合論のモデルにおいて重要な役割を果たします。ZFのモデルは、集合状かつ外延的であるため、整礎性が保たれた場合、この補題を用いてZFの推移的モデルと一意的に同型であることが示されます。

ここで注目すべきは、ZFのモデルの∈-関係が整礎的であることは、そのモデル内で正則性公理が成立することより強い条件です。このように、ZFが無矛盾であると仮定した場合、モデルMにおいて、R-極小要素を持たない部分集合Aが存在するかもしれませんが、Aはモデルの中で集合と見なされません。これは、Aの要素がすべて議論領域内にあっても、A自体はモデルの議論領域内に存在しないことを意味しています。

より正確には、R−1[x]に関する条件を満たすMの要素xが存在すれば、AはRの下でモデル内で整礎的であることが示されます。しかし、この場合でもRは整礎的関係ではないため、崩壊補題は適用できません。

関連項目

• - 順序数崩壊関数（ordinal collapsing function）

参考文献

Jech, Thomas (2003). Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (third millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7.

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