モツキン数

モツキン数とは

モツキン数（Motzkin number）とは、数学において自然数 n に対し、円周上に配置された n 個の異なる点を、交差せずに結ぶ直線の種類をカウントしたものである。ポイントは、結ばれていない点が存在しても問題ないことで、これにより多様な連結の形が生まれる。モツキン数の名称は、数学者テオドール・モツキンに由来している。

モツキン数の数列

自然数 n に対するモツキン数は以下のように定義されている:

• - M0 = 1
• - M1 = 1
• - M2 = 2
• - M3 = 4
• - M4 = 9
• - M5 = 21

続けてこのように計算される数列は、M6 = 51, M7 = 127 などが続く。

具体的には、モツキン数は、組合せ数学や数論、幾何学など、さまざまな数学分野で利用されている。モツキン数を示す数列はオンライン整数列大辞典の A001006 として記録されている。

モツキン数の性質

モツキン数は特有の漸化式に従う。

$$M_{n} = M_{n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} M_{i} M_{n-2-i}$$

これにより、過去の値を用いて現在のモツキン数を計算することが可能である。さらに、モツキン数は二項係数（binomial coefficient）とカタラン数（Catalan number）を利用して表現することもできる。次のように記述される:

$$M_{n} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2k} C_{k}$$

ここで、C_k は k 番目のカタラン数である。

モツキン素数

モツキン数の中で特に素数に該当する数はモツキン素数（Motzkin prime）と称され、現在知られているモツキン素数は2, 127, 15511, 953467954114363の4つである。これはオンライン整数列大辞典の A092832 に記録されている。

組合せ数学的な解釈

モツキン数に対応する条件を持つ整数列も存在する。例えば、n に対して長さ n − 1 の正整数列の初項と末項が1または2であり、隣接する項の差が−1, 0, 1のいずれかである条件をみたす列の数がモツキン数に等しい。また、長さ n + 1 の正整数列で初項が1で、隣接する項間の差が同様である列の数も、モツキン数に一致する。

さらに、2次元のデカルト座標平面上で (0, 0) から (n, 0) まで到達する経路の数も同じくモツキン数として数えられる。モツキン経路は、格子点のみによる折れ線であり、移動のベクトルが (0,1), (1,1), (1, -1) のいずれかである。

例えば、n=4 の場合、(0, 0) から (4, 0) に到達する9通りの経路が示される。

結論

モツキン数は数学において非常に多くの場面で利用され、少なくとも14通りの異なる定義方法が存在することが確認されている。モツキン数は、組合せ数学の深い理論に基づくものであり、数多くの数学の問題や現象を解析する際に重要な役割を果たしている。このように多岐にわたる応用を持つモツキン数は、数学の学問としての奥深さを示す一例である。

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