モランI

モラン I とは

モラン I（Moran's I）は、統計学における空間的自己相関の指標であり、パトリック・モランによって開発されました。この指標は、空間内の近接する地点間の相関関係を測定するために利用されます。特に、モラン Iは多次元空間のデータにおける相関を評価し、1次元の自己相関よりも複雑です。

グローバル・モラン

モラン Iの第一の形式であるグローバル・モランは、空間データ全体のクラスタリングを測定します。モラン Iの数式は以下のように定義されています。

$$
I = \frac{N}{W} \frac{\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N w_{ij}(x_i - \bar{x})(x_j - \bar{x})}{\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2}
$$

ここで、

• - $N$は空間単位の数
• - $x$は興味深い変数
• - $\bar{x}$はその平均
• - $w_{ij}$は空間重み行列の要素
• - $W$は全ての$w_{ij}$の合計です。

空間重み行列は、特定の観測地点間の相互作用を考慮するために重要で、隣接する地点の影響を制限するための構造を持っている必要があります。この空間重み行列の設定は、モラン Iの値に大きく影響します。

期待値と分散

モラン Iの値は、通常-1から+1の範囲内で変動します。空間的自己相関が存在しないという仮定に基づくときの期待値は次のように表現されます。

$$
E(I) = \frac{-1}{N - 1}
$$

また、モラン Iの分散は次のように定義されます。

$$
Var(I) = \frac{N S_4 - S_3 S_5}{(N - 1)(N - 2)(N - 3)W^2} - (E(I))^2
$$

ここで、$S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$, $S_5$は空間重み行列に基づく指標です。これにより、空間内のデータの分布の差異を認識することが可能になります。

ローカル・モラン

ローカル・モランは、グローバルな指標だけでは捉えきれない地域的な変動を評価するために用いられます。個々の空間単位に対してローカルな相関を計算し、特定の地域のクラスタを見つける役割を果たします。ローカル・モランは、次の式で表されます。

$$
I_i = \frac{x_i - \bar{x}}{m_2} \sum_{j=1}^N w_{ij}(x_j - \bar{x})
$$

このようにして、空間単位ごとの相関関係を明らかにし、Local Indicators of Spatial Association（LISA）として知られる方法で解析を行うことができます。

モラン I の応用

モラン Iは多くの分野で応用されており、特に地理学と地理情報科学において重要です。具体的には、以下のような用途があります。

• - 健康関連の変数に関する地理的な違いを分析する。
• - 環境要因がメンタルヘルスに及ぼす影響を明らかにする。
• - 地域ごとの言語の違いを測定することにより、方言学的研究を進める。
• - 地形学研究のために、有意義なセグメンテーションを行う。

モラン I とそのローカルバリエーションを活用することで、複雑な地理的データの背後にあるパターンや関係性を明らかにすることが可能です。

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