自己相関

自己相関

自己相関（じこそうかん、自動相関、英: autocorrelation）は、信号処理や時系列解析において用いられる重要な数学的手法です。一般に、自己相関とは、特定の信号がその自身とどの程度一致するかを測る方法であり、時間シフトの影響を考慮します。この手法は、信号に含まれる周期性や繰り返しパターンを明らかにするのに非常に効果的です。

定義と背景

自己相関は学問分野によって異なる定義が存在します。例えば、統計学では、確率過程の自己相関関数（ACF）は、時系列データにおける異なる時点間の相関を表します。具体的には、ある時点での確率変数の値を基に、他の時点と比較することで自己相関の数値を算出します。この計算には平均（μ）や分散（σ^2）を利用した標準化が含まれることが一般的です。

統計学における自己相関

時系列データにおける自己相関関数は、次のように定義されます。特定の時点tにおける値をXtとすると、自己相関関数R(t, s)は次の式で表されます。

$$R(t,s)=\frac{E[(X_t−μ)(X_s−μ)]}{σ^2}$$

この式の中で、Eは期待値を指しています。この自己相関値の範囲は[-1, 1]であり、1は完全な相関を、−1は完全な反相関を示します。

もし時系列が定常過程であれば、自己相関関数は時間差kに基づく1変数の関数として扱われます。この場合、自己相関関数は次のように表現されます。

$$R(k)=\frac{E[(X_i−μ)(X_{i+k}−μ)]}{σ^2}$$

信号処理における応用

信号処理の分野では、自己相関関数は非常に頻繁に利用されます。ここでは、平均を引かず分散で正規化を行わない形式が一般的で、これを「自己相関係数」と呼ぶこともあります。連続信号に対する自己相関は、自己相互相関の積分として表現され、多くの場合、時間遅延（ラグ）τを用いて示されます。

$$R_{ff}(τ)=rac{1}{T}∫_0^T f(t+τ)f^∗(t) dt$$

ここで、Tは時間長を示し、f*は信号fの共役複素数です。離散信号においても、ラグjでの自己相関は類似の形式で表現されます。これらはエネルギーが有限な信号の場合に適用されます。

特徴と性質

自己相関にはいくつかの基本的な特性があり、特にR(i) = R(-i)という対称性が重要です。これは自己相関が奇関数であることを示しており、信号が実関数の場合、自己相関は必然的に偶関数となります。また、自己相関関数は原点で最大値を持ち、任意のラグtauについて絶対値は原点における値以下となることが示されています。

応用分野

自己相関の応用は多岐にわたり、特に光学や信号処理の分野で重要な役割を果たしています。光のスペクトル測定、超短時間レーザーパルスの測定に加え、音楽やパルサーの頻度分析といった応用にも利用されています。

結論

自己相関は、信号や時系列データの分析において極めて重要な手法です。統計学や信号処理におけるさまざまな応用があるため、その理解は多くの技術分野で必要とされています。

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