モールの定理

モールの定理とは

モールの定理は、構造力学における重要な定理の一つで、主に梁部材のたわみを簡易的に求める際に用いられます。この定理は、共役梁という仮想的な梁に、元の梁に作用する曲げモーメントから生成される弾性荷重と呼ばれる仮想的な荷重を加えることで、元の梁のたわみとたわみ角を計算できるというものです。

通常、梁のたわみを求めるには複雑な微分方程式を解く必要がありますが、モールの定理を用いることで、より直感的かつ簡便にたわみを求めることが可能になります。この方法を弾性荷重法または共役梁法と呼びます。

モールの定理の基本原理

梁に分布荷重が作用している場合、そのたわみは4階の微分方程式で表されます。この微分方程式を直接解くことでもたわみを求めることができますが、モールの定理は、この微分方程式を2段階に分解することで、より容易にたわみを計算する方法を提供します。

まず、梁のたわみ `v`、たわみ角 `θ`、曲げモーメント `M`、せん断力 `Q` の間には以下の関係があります。

`v' = θ`
`θ' = -M/EI`
`M' = Q`
`Q' = -p` (ここで `p` は分布荷重、`EI` は曲げ剛性)

これらの関係から、梁のたわみに関する微分方程式は、以下の2つの式に分解できます。

1. `M'' = -p`
2. `EIv'' = -M`

ここで、式(1)は、与えられた荷重条件から曲げモーメントを求めることを意味します。そして、式(2)を `z = M/EI` と置き換えることで、 `v'' = -z` という新しい式を得ることができます。この `z` が弾性荷重にあたります。

弾性荷重 `z` を新たな荷重として梁に作用させ、そのときの曲げモーメントに相当する量 `M̄` を求めると、それが元の梁のたわみ `v` に等しくなります。同様に、弾性荷重に対するせん断力に相当する量 `Q̄` は、元の梁のたわみ角 `θ` に等しくなります。

共役梁とは

モールの定理を適用する上で、共役梁という概念が重要になります。共役梁とは、元の梁の境界条件に対応するように設定された仮想的な梁のことです。元の梁のたわみやたわみ角の境界条件に対応するように、共役梁の曲げモーメント相当量とせん断力相当量の境界条件を決定します。

例えば、単純支持梁はそのまま単純支持梁に対応しますが、片持ち梁では左右が反転するなど、元の梁と共役梁では異なる形状になる場合があります。以下に代表的な梁とその共役梁の関係を示します。

弾性荷重法の手順

モールの定理を利用した弾性荷重法は、以下の手順で梁のたわみやたわみ角を計算します。

1. 元の梁の曲げモーメント `M` を計算します。
2. 曲げモーメント `M` を曲げ剛性 `EI` で除し、弾性荷重 `z = M/EI` を生成します。
3. 共役梁に弾性荷重 `z` を作用させます。
4. 共役梁におけるせん断力に相当する量 `Q̄` を計算すると、元の梁のたわみ角 `θ` が得られます。
5. 共役梁における曲げモーメントに相当する量 `M̄` を計算すると、元の梁のたわみ `v` が得られます。

弾性荷重法のメリットとデメリット

メリット

微分方程式を直接解く場合に比べて、解法が簡潔でわかりやすい。
梁の中間でのモーメント外力や断面寸法の急変があっても、場合分けが不要。
特定の点のたわみやたわみ角だけを求めたい場合に、計算が容易。

デメリット

荷重の分布形状が複雑な場合、弾性荷重の合力や作用位置の計算が煩雑。
* 不静定梁には適用できない。

モールの定理の歴史と現代での位置づけ

モールの定理は、1868年にドイツの技術者オットー・モールによって発表されました。モール自身は、この方法を変断面梁のたわみを求めるのに有効であると述べています。また、ティモシェンコは、モールの応力円とともに、モールの材料力学に対する大きな功績として挙げています。

現代では、構造計算にコンピューターが活用されるようになり、弾性曲線方程式を数値的に解いたり、有限要素法などを用いて梁の変形を直接計算することが主流です。そのため、実務でモールの定理が用いられることは少なくなっています。しかし、構造力学の基礎として、大学や高等専門学校、工業高校などで広く教えられています。

まとめ

モールの定理は、構造力学における基礎的な概念であり、梁のたわみを簡易的に計算するための強力なツールです。弾性荷重法を用いることで、複雑な微分方程式を解くことなく、梁のたわみやたわみ角を求めることが可能になります。現代の実務ではあまり使われなくなりましたが、構造力学を理解する上で非常に重要な定理と言えるでしょう。

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