ユニタリー性 (物理学)

量子力学におけるユニタリー性

量子力学の基本的な概念の一つであるユニタリー性は、量子系の時間発展を示す演算子や、散乱過程を示すS行列がユニタリー演算子であることを指します。この性質によって、量子系の動きや振る舞いを理解するための重要な見地が提供されます。

ハミルトニアンと時間発展の関係

量子系のハミルトニアン $
\hat{H}
$ が時間に依存しない場合、系の時間発展はシュレディンガー方程式によって記述されます。この方程式は次のように表されます。
$$
i{\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =\hat{H}|\psi (t)\rangle
$$
この方程式の解は、演算子 $
\hat{U}(t) \equiv e^{-i\hat{H}t}
$ を用いて、次のように書かれます。
$$
|\psi (t)\rangle =\hat{U}(t)|\psi (0)\rangle
$$
ここで、$
\hat{U}(t)
$ はユニタリー演算子であり、以下の性質を満たします。
$$
\hat{U}(t) \hat{U}(t)^{\dagger} = \hat{U}^{\dagger} \hat{U} = 1
$$
この性質から、波動関数の規格化が保たれることが示され、時間経過に伴い確率の合計が常に1のまま変化しないことが理解されます。

ユニタリー性と非ユニタリー時間発展

測定を伴う場合、量子系は測定の影響によって変化することがあります。このような場合、測定による反作用から、興味のある系の変化をユニタリーな演算子では記述できないことがあります。これを「非ユニタリー時間発展」と呼びます。しかし、完全な体系、すなわち、量子系と測定器全体を考えると、その時間発展はユニタリー性を保つとされています。要するに、閉じた量子系の動きはユニタリーであるのですが、測定過程を考慮すると情報が失われ、結果として非ユニタリーな挙動が生じることがあります。

光学定理と散乱過程

散乱過程に関連するS行列もユニタリー演算子でなければなりません。このユニタリー性が保証されることで、光学定理が導かれます。場の量子論においては、特に非物理的な粒子が含まれる定義がしばしば用いられますが、S行列のユニタリー性を保つためには、これらの粒子が散乱過程の最終状態に現れてはいけません。ゲージ場の量子論においては、ゲージ対称性やBRST対称性の結果として、S行列のユニタリー性が示されます。

ユニタリー限界とその意義

理論物理学において時間発展演算子のユニタリー性に基づく不等式はユニタリー限界と呼ばれます。この限界は、光学定理からも導かれ、特に二体散乱の確率振幅の虚部 $
\text{Im}(M)$ が全散乱断面積と一致します。前方散乱の断面積はこの全散乱断面積を超えられず、次の不等式が成り立ちます。
$$
|M|^{2} \leq \text{Im}(M)
$$
この不等式は、複素数 $M$ が特定の範囲に制約を受けることを示します。また、散乱振幅や断面積のエネルギー依存性にも制約が設けられ、特にこの上限が達成される場合はユニタリー極限と呼ばれます。

関連項目

• - ユニタリー演算子
• - S行列
• - 光学定理

量子力学におけるユニタリー性は、量子系の動きや特性を深く理解するために不可欠な概念であり、様々な物理現象との関連性が重要視されています。

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