S行列

S行列とその定義

S行列、または散乱行列は、散乱過程において初状態と終状態の関係を示す行列です。これは量子力学、散乱理論、場の量子論、あるいはマイクロ波工学などの分野で広く用いられています。

散乱演算子とS行列の関係

量子論における散乱演算子は、粒子の漸近的状態を結びつけるユニタリ演算子として定義されます。この演算子は以下のように表されます。

\[\hat{S} |\psi (-\infty)\rangle = |\psi (+\infty)\rangle\]

また、この散乱演算子の随伴（エルミート共役）は、次の関係を持ちます。

\[\hat{S}^{\dagger} = \hat{S}^{-1}\]

これは、散乱のプロセスが情報を保存することを示しています。

散乱過程の時間発展

散乱過程は、時間 \( t = -\infty \) の初期状態から始まり、最終的に時間 \( t = +\infty \) で終状態へと進行します。この動作は、時間発展演算子を使用して記述されます。

\[\hat{U}(-\infty, +\infty)\]

この演算子は、粒子の状態が初期から最終状態へどのように変化するかを示します。散乱理論では、この変化を時間依存シュレディンガー方程式を使って求めるのが一般的です。

初期状態の設定

散乱過程の初期状態は、無限遠の過去 \( t' = -\infty \) であり、この時刻において入射粒子は十分に遠く離れた状態にあり、相互作用は発生しないと仮定されます。したがって、初期状態は自由ハミルトニアンの固有状態として設定されます。

\[|\psi_I(t' = -\infty)\rangle = |\Phi_i\rangle\]

ここで、\( |\Phi_i\rangle \) は初期状態の固有ベクトルです。

時間発展の表現

この時刻における波動関数は、次のように時間発展演算子を使って記述されます。

\[|\psi_I(t)\rangle = \hat{U}(t, -\infty) |\psi_I(-\infty)\rangle = \hat{U}(t, -\infty) |\Phi_i\rangle\]

これにより、始状態から終状態への進行が視覚化されます。

終状態の表現

2つの粒子が衝突を終えたとき、そしてそれぞれが互いに遠くに離れた状態で、時間 \( t = +\infty \) における状態は次のように表されます。

\[|\psi_I(t' = +\infty)\rangle = \hat{U}(+\infty, -\infty) |\Phi_i\rangle\]

ここから得られる状態ベクトルを、自己演算子の固有ベクトルで展開して、その係数を \( S_{j,i} \) と書くことができます。

S行列の意味

S行列は、時刻 \( t' = -\infty \) において初期状態から、相互作用を経て時刻 \( t' = +\infty \) における終状態への確率振幅を示します。

\[ S_{f,i} = \langle \Phi_f|\hat{U}(+\infty, -\infty)|\Phi_i\rangle \]

このように、S行列は散乱過程に関する全情報を包含しており、S行列が求まれば散乱問題が解決されたことになります。最終的に、S行列の絶対値の二乗を取ることで、初状態から終状態への転移確率 \( W_{f,i} \) を得ることができます。

\[ W_{f,i} = |S_{f,i}|^2 \]

まとめ

S行列は、散乱現象を状態の転移として捉える上で中心的な役割を果たす重要な物理量です。これにより、散乱断面積なども計算され、物理現象の理解が深まるのです。

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