ラザルス・フックス

ラザルス・イマヌエル・フックスの生涯と業績

ラザルス・イマヌエル・フックス（Lazarus Immanuel Fuchs）は、1833年5月5日にポズナン大公国のモスキン（現在のポーランドに属するモシナ）で生まれました。彼はユダヤ系ドイツ人の数学者として、線型微分方程式の研究において画期的な貢献を行いました。彼の研究は、数学の理論に深く刻まれた影響を与え、1902年4月26日にベルリンで他界するまで、その業績は広く認識され続けました。

フックスは、ベルリンの旧聖マティウス教会墓地に埋葬されており、彼の墓は重要な歴史的名所として保存されています。特に、フックスが業績を残した数多くの数学的概念、例えば「フックス群」や「フックス関数」、さらには「ピカール・フックス方程式」に至るまで、彼の名前は多くの数学者に引用され続けています。

線型微分方程式への貢献

フックスが特に注目されたのは、線型微分方程式の特異点に関する彼の業績です。彼は、次のような一般的な線型微分方程式を考慮しました。
$$ y^{ ext{''}} + p(x)y' + q(x)y = 0 $$
この方程式における特異点$a$は、$p$と$q$がその周囲で有理型であり、$1$または$2$の位数の極を持つ場合にフックシアンと呼ばれます。フックスの定理によると、この条件は特異点の正則性に関しての必要十分条件を提供し、結果として二つの線型独立な解の存在を保証します。この解の存在を示す公式は、以下のようになります。
$$ y_{j} = extstyle igg( extbf{Σ}_{n=0}^{∞} a_{j,n}(x-x_{0})^{n+ ext{σ}_{j}} igg) $$
ここで、重要な点は$ ext{σ}_{j}$が微分方程式によって決定されるということです。

さらに、フックスは全く異なる場面でも成果を挙げています。特に、彼は非線型微分方程式に関連する「フックスの条件」を示しました。これは、動く特異点が自由であるための必要十分条件を表したものです。これは、次のように表現されます。
$$ Figg( rac{dy}{dz}, y, z igg) = 0 $$

フックスの業績は、ただ理論的な数学研究だけでなく、後の世代の数学者たちに多大な影響を与えてきました。彼の研究を通じて、彼は数学の発展に貢献し、さらなる研究への道を開いたのです。

代表的な著作

フックスの著作もまた、彼の知識を広める上で重要な役割を果たしました。代表的な著作には次のものがあります。

• - Über Funktionen zweier Variabeln, welche durch Umkehrung der Integrale zweier gegebener Funktionen entstehen (1881年、ゴッティンゲン出版)
• - Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen (1901年、ベルリン出版)
• - Gesammelte Werke (1904–1909年、リヒャルト・フックスとルートヴィヒ・シュレジンガーによる編集)

フックスはまた、その息子であるリヒャルト・フックスとも関係があり、彼自身も数学者として知られています。

結論

ラザルス・イマヌエル・フックスは、彼の生涯を通じて数多くの業績を築き、線型微分方程式の理論において重要な役割を果たしました。彼の研究は、後の科学者たちに新たな洞察を与えるものであり、今日の数学においても重要な基盤を成しています。

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