線型微分方程式

線型微分方程式の概要

線型微分方程式とは、微分を利用して未知関数と既知関数の関係を示す方程式で、一般的に形式は次のようになります。

$$Ly = b$$

ここで、$L$は線型作用素、$y$は未知関数、$b$は既知関数を指します。特に$b
eq 0$の場合、任意に選んだ2つの解$s_1$と$s_2$の差を$L$に適用すると、以下のように表すことができます。

$$Ld = L(s_1 - s_2) = Ls_1 - Ls_2 = b - b = 0$$

したがって、$b = 0$の時には、常微分方程式は斉次もしくは同次方程式と呼ばれます。各解$s_1$は、その特定の解$d$を加えた形として表され、この全ての解は特殊解と斉次方程式の解の和で表せます。特にこれは、線型微分方程式の解を求める際に、特定の解を見つけることが重要であることを示しています。

定義

高階単独型

高階単独型の線型微分方程式は次のように定義されます。

$$\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)y = b(x)$$

ここで、$b = 0$であれば斉次と呼ばれます。この方程式に対する微分作用素$L(d/dx)$が未知関数$y$に適用される際には、線型性を持つことが確保されます。

1階連立型

連立型の線型微分方程式は次のように定義されます。

$$\frac{dy}{dx} = A(x)y + b$$

ここで、$A(x)$は係数行列で、$b$が全てゼロの場合、斉次と見なされます。右辺の$A(x)y$は$y$に関して線型性を保ちます。

解と解空間

基本解

斉次の線型微分方程式の解空間が、関数の集合$B = \{y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x)\}$から成る場合、これを基本解と呼びます。一般解は全て基本解の線型結合によって得られます。非斉次の場合では、特殊解と斉次方程式の一般解の線型結合が一般解になります。

ロンスキー行列式

数個の関数が斉次方程式の解として得られた場合、その係数行列が常にゼロでないかを判定するためにロンスキー行列式を用います。この行列式が一つの点で非ゼロであれば、得られた関数群は基本解であることに繋がります。

解法

定数係数の斉次常微分方程式

定数を持つ斉次線型常微分方程式は、各微分を$t$に置き換えて特性多項式を形成します。特に$F(t)$が繁忙すると、指数関数を用いて解を導き出す戦略が用いられます。

関数係数の斉次常微分方程式の解法

この方程式に対して積分方法などのアプローチが取り入れられ、多くの非線型常微分方程式に対しても研究が進められています。この中には一般の陰関数型常微分方程式が含まれ、線型の関数型を付与することで、線型の常微分方程式が得られます。

総括

線型微分方程式は、その線型性と解の性質により、多くの数学的問題へのアプローチを提供します。解法、基本解の構成法など、学問的なアプローチは幅広く、さまざまな応用が期待されます。

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