リアプノフ安定

力学系の平衡点の安定性：リアプノフ安定と漸近安定

力学系において、系の状態を表す変数の時間変化を記述する常微分方程式系を考えることは非常に重要です。この方程式系の解は、時間経過に伴う系の状態の変化を示す軌道として視覚化できます。そして、この軌道がどのように平衡点という特別な点の周囲で振る舞うのかを理解することは、系の挙動を予測する上で不可欠です。

平衡点とは、系の状態が時間経過によっても変化しない点を指します。つまり、微分方程式系の解が一定値となる点です。しかし、平衡点に達した状態が、時間経過とともに維持されるかどうかは、平衡点の安定性によって決まります。

リアプノフ安定

平衡点の安定性を考える上で最も基本的な概念が、リアプノフ安定です。リアプノフ安定とは、平衡点の近傍から出発する軌道が、常に平衡点の近くに留まり続ける性質のことです。

より厳密には、任意に小さな平衡点の近傍（ε近傍）を考えると、その中に、初期状態がこの近傍にある軌道が、常にε近傍内に留まるようなより小さな近傍（δ近傍）が存在する場合、その平衡点はリアプノフ安定であると言えます。

数学的には、次のような常微分方程式系

`dX/dt = f(X)`

において、`f(Xe) = 0`を満たす点`Xe`を平衡点とします。初期点`X0`を通る系の解軌道を`X(t)`とすると、任意の`ε > 0`に対して、`||X0 - Xe|| < δ`ならば、全ての`t ≥ 0`において`||X(t) - Xe|| < ε`となるような`δ > 0`が存在する場合、平衡点`Xe`はリアプノフ安定です。

これは、平衡点の近くで軌道が大きくずれることがないことを意味しています。しかし、リアプノフ安定な平衡点であっても、軌道が平衡点に収束するとは限りません。平衡点の周りをぐるぐる回るような軌道も考えられます。

漸近安定

リアプノフ安定よりも強い安定性の概念として、漸近安定があります。漸近安定とは、リアプノフ安定であるだけでなく、時間経過とともに軌道が平衡点に収束する性質のことです。

数学的には、リアプノフ安定の条件を満たし、かつ、`||X0 - Xe|| < b`ならば、`lim (t→∞) ||X(t) - Xe|| = 0`となるような`b > 0`が存在する場合、平衡点`Xe`は漸近安定です。

これは、時間無限大で軌道が平衡点に近づくことを意味しています。漸近安定な平衡点は、系の状態が最終的に平衡点に落ち着くことを示唆しており、リアプノフ安定よりも強い安定性と言えるでしょう。

さらに、平衡点の近傍に限定せず、系の全ての初期状態から出発する軌道が平衡点に収束する場合、その平衡点は大域的に漸近安定であると言われます。

まとめ

リアプノフ安定と漸近安定は、力学系の平衡点の安定性を記述する重要な概念です。リアプノフ安定は、軌道が平衡点の近傍にとどまることを保証しますが、平衡点への収束までは保証しません。一方、漸近安定は、軌道が平衡点に収束することを保証する、より強い安定性です。これらの概念を理解することは、力学系の挙動を理解する上で不可欠です。

関連用語

アレクサンドル・リアプノフ: リアプノフ安定性の概念を提唱したロシアの数学者
安定多様体: 安定な平衡点に近づく軌道の集合
状態空間 (制御理論): 系の状態を表現する空間

参考文献

Steven H. Strogatz、田中久陽・中尾裕也・千葉逸人（訳）、2015、『ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版

もう一度検索