状態空間 (制御理論)

状態空間表現：制御システムの数学的モデル

制御工学において、状態空間表現は物理システムの挙動を数学的に記述する強力な手法です。システムの入力、出力、そして内部状態を、一連の微分方程式（連続時間系）または差分方程式（離散時間系）を用いてモデル化します。これにより、複雑な多入力多出力システムも簡潔に表現し、解析や制御設計を容易に行うことができます。

状態空間とは？

状態空間とは、システムの状態を座標として表す抽象的な空間です。各座標軸は、システムの状態を決定する状態変数に対応します。システムの状態は、状態空間内のベクトルとして表現されます。状態変数の数は、システムの自由度を表し、一般的にシステムを記述する微分方程式の次数に等しくなります。状態変数は、システムの過去の挙動に依存せず、現在の状態と将来の挙動を決定するのに必要な最小限の情報集合です。これらの変数は線形独立である必要があります。

線形システムの状態空間表現

線形時不変システム（LTIシステム）の状態空間表現は、以下の連立微分方程式で表されます。

状態方程式: `ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)`
出力方程式: `y(t) = Cx(t) + Du(t)`

ここで、

`x(t)`: 状態ベクトル
`u(t)`: 入力ベクトル
`y(t)`: 出力ベクトル
`A`: 状態行列
`B`: 入力行列
`C`: 出力行列
`D`: 直達行列

多くの場合、直達行列`D`は零行列と仮定されます。これらの行列の要素は、システムのパラメータを反映しており、システムの特性（安定性、可制御性、可観測性など）を決定します。

伝達関数

状態空間表現は、ラプラス変換を用いて伝達関数に変換できます。伝達関数は、システムの入力と出力の周波数応答関係を示す関数で、システムの特性を周波数領域で解析するのに役立ちます。多入力多出力システムにおいては、状態空間表現の方が伝達関数表現よりもコンパクトで扱いやすいです。

連続時不変システムの伝達関数`G(s)`は、次式で与えられます。

`G(s) = C(sI - A)^-1B + D`

ここで、`s`はラプラス変換の複素周波数変数、`I`は単位行列です。伝達関数の極は、状態行列`A`の固有値によって決定されます。

可制御性と可観測性

システムの可制御性とは、適切な入力を与えることで、任意の状態にシステムを遷移させることができるかどうかを表します。可観測性とは、出力の観測によってシステムの状態を推定できるかどうかを表します。これらの特性は、状態空間表現の行列`A`、`B`、`C`を用いて判定できます。

安定性

システムの安定性は、重要な特性です。BIBO（有界入力有界出力）安定性は、有界な入力が与えられたとき、出力も有界にとどまることを意味します。リアプノフ安定性や漸近安定性などの内部安定性も、システムの挙動を評価する上で重要です。線形システムの場合、安定性は状態行列`A`の固有値の実部によって決定されます。全ての固有値の実部が負であれば、漸近安定です。

フィードバック制御

フィードバック制御は、システムの出力を監視し、その情報に基づいて入力を調整することで、所望の性能を実現する制御手法です。状態空間表現においては、状態フィードバック制御がよく用いられ、状態行列`A`の固有値を調整することでシステムの特性を制御できます。

非線形システムの状態空間表現

非線形システムの状態空間表現は、以下の一般的な形式で表されます。

状態方程式: `ẋ(t) = f(x(t), u(t))`
* 出力方程式: `y(t) = g(x(t), u(t))`

ここで、`f`と`g`は、状態と入力の非線形関数です。非線形システムの解析は、線形システムよりも複雑になります。

例：移動する物体と振り子

状態空間表現は、様々な物理システムのモデル化に適用できます。例として、バネで壁に繋がれた物体の運動や、単純な振り子の運動を状態空間モデルで記述できます。これらの例を通して、状態空間表現の具体的な適用方法と、可制御性・可観測性の評価方法を理解することができます。

まとめ

状態空間表現は、複雑なシステムのモデル化、解析、制御設計に有効な手法です。その柔軟性と強力な表現力から、制御工学において広く利用されています。本記事では、状態空間表現の基本概念から応用例までを解説しました。より詳細な理解のためには、専門書を参照することをお勧めします。

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