リシャールのパラドックス

リシャールのパラドックスは、20世紀初頭に数学者ジュール・リシャールによって提示された、定義可能性と無限集合に関する興味深いパラドックスです。

このパラドックスを理解するためには、まず「リシャール文」という概念を導入します。ここでいうリシャール文とは、0から1までの間の特定の実数を一意に定める日本語の文、あるいは表現とします。

日本語は有限個の文字から構成されており、したがって、有限の文字数で書かれる日本語の文も有限個しか存在しません。このことから、特定の実数を定義するリシャール文もまた有限個であると言えます。

すべてのリシャール文を、例えば文字数の少ない順に、文字数が同じ場合は五十音順に並べることを考えます。このように整列させることで、すべてのリシャール文に順番に自然数の番号を振ることができます。これにより、「1番目のリシャール文」「2番目のリシャール文」…といった形で、すべてのリシャール文とそれらが定義する実数を順序付けることが可能になります。

矛盾の発生

さて、ここで次のような文を考えます。

「この文によって定義される実数は、小数点以下の位が以下のように定められる。整数部分は0とし、小数点以下第 n 位の数字は、n 番目のリシャール文が定義する実数の小数点以下第 n 位の数字が 0 ならば 1、それ以外の場合（0以外）ならば 0 とする。」

この文は、0以上1未満の特定の実数を明確に定義しています。したがって、冒頭で定義したリシャール文の条件を満たしており、この文自体もリシャール文の一つであると言えます。

すべてのリシャール文は番号付けされているはずですから、この特別な文にも何らかの自然数である番号が付いているはずです。仮に、この文がQ番目のリシャール文であるとしましょう。

ここで、この文によって定義される実数の小数点以下第Q位の数字に注目します。上記の定義によれば、この数字は「Q番目のリシャール文が定義する実数の小数点以下第Q位の数字が 0 ならば 1、それ以外ならば 0」として定められます。

ところが、Q番目のリシャール文というのは、まさに今考えている「この文」自身に他なりません。つまり、この文によって定義される実数の小数点以下第Q位の数字は、自分自身の小数点以下第Q位の数字が 0 ならば 1、そうでなければ 0 と定義されていることになります。

これは矛盾です。なぜなら、小数点以下第Q位の数字が実際に0であろうと、0以外であろうと、上記の定義に従って定められた数字は、自分自身のその位の数字とは必ず異なるものになってしまうからです。しかし、Q番目のリシャール文が定義する実数と、この文が定義する実数は同一でなければなりません。

このように、自己言及的な定義に基づいて実数を構成しようとした結果、論理的な矛盾が生じてしまうのがリシャールのパラドックスです。

パラドックスの源泉と回避

このパラドックスの核心は、自己言及、あるいは定義の循環にあると考えられます。リシャール数を構成しようとする操作は、「リシャール文によって定義される実数の集合全体」という概念を前提としていますが、構成されたリシャール数は、その集合に含まれるどの実数とも異なるように定義されます。つまり、構成によってその集合の範囲（外延）が変わってしまうため、明確な集合を扱うことが困難になるのです。

現代の数学、特に集合論の形式体系（例えばZFC公理系）においては、「日本語の文によって定義可能な実数」といった概念を、形式的な論理式として適切に表現し、その性質を議論することが難しいとされています。このような「定義可能性」という概念が、集合論の枠組みの外にある、あるいは形式化が困難であるという立場から、リシャールのパラドックスは集合論内部での矛盾としては扱われず、回避されています。

リシャールのパラドックスは、数学基礎論における定義可能性、集合の構成、そして自己言及の問題を探求する上で重要な事例であり、ゲーデルの不完全性定理や計算可能性理論、アルゴリズム情報理論など、他の分野とも関連が指摘されることがあります。

なお、同様に自己言及を含むベリーのパラドックスと混同されることがありますが、リシャールのパラドックスは実数の定義可能性に焦点を当てたものです。

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