リチャードソンの補外

リチャードソンの補外

リチャードソンの補外（リチャードソンのほがい）は、外挿法の一形式であり、特にパラメータ x が 0 に近づくときの関数 f(x) の極限値を近似するための方法です。この手法は、数値計算の分野で広く利用されており、特に数値積分や計算工学（CAE）において重要な役割を果たします。

使用方法

リチャードソンの補外は、特定の2つの関数の値 f(x) と f(λx) を利用します。ここで、λ は 0 < λ < 1 の範囲にあるパラメータです。アルゴリズムは、これらの関数から出発して、x が 0 に近づく際の限界値 F の近似値を求める形で進行します。具体的には、次の式を用いて近似値を計算します。

$$
\bar{f}_{1}^{(1)} = \frac{f(\lambda x) - \lambda^{p_{1}} f(x)}{1 - \lambda^{p_{1}}}
$$

ここで、p1 は関数 f(x) が含む多項式の展開に現れる指数です。そして、f(x) の表現は次のように示されます。

$$
f(x) = F + \sum_{i \ge 1} a_{i} x^{p_{i}} = F + a_{1} x^{p_{1}} + a_{2} x^{p_{2}} + \cdots,
$$

この際、指数 p1 と p2 は、0 < p1 < p2 という条件を満たす必要があります。

附加データの利用

もしさらに追加のデータとして f(λ²x) や f(λ³x) など M 個のデータを用意できれば、次のような形式で精度の高い近似値を求めることが可能です。

$$
\bar{f}_{i}^{(0)} = f(\lambda^{i} x),\quad i=1,\ldots,M
$$

また、以下のように再帰的に近似値を更新します。

$$
\bar{f}_{i}^{(j)} = \frac{\bar{f}_{i}^{(j-1)} - \lambda^{p_{j}} \bar{f}_{i-1}^{(j-1)}}{1 - \lambda^{p_{j}}}, \quad j=1,\ldots,i
$$

この手法により、より正確な近似値を得ることができます。

精度の評価

最初の近似値 \bar{f}_{1}^{(1)} は、x の p2 に比例する誤差を持ち、次のように評価されます。

$$
\bar{f}_{1}^{(1)} = F + O(x^{p_{2}})
$$

同様に、最終的な近似値 \bar{f}_{M}^{(M)} の誤差則は次のようになります。

$$
\bar{f}_{M}^{(M)} = F + O(x^{p_{M+1}})
$$

このリチャードソンの補外による近似技術は、特に計算機科学や工学的応用において、評価の精度を高めるための強力なツールとして活用されています。適切に選ぶことで、近似の品質を大幅に向上させることが可能です。それゆえ、リチャードソンの補外は、現代の数値解析において欠かせない手法の一つといえるでしょう。

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