リュカ数列

リュカ数列の概要

リュカ数列（ルーカス数列とも呼ばれる）は、特に重要な数列であり、二次の整係数方程式の解として定義されます。これは以下のように表されます。

$$ G(x) = x^2 - Px + Q = 0 $$

ここで、$P$と$Q$は定数で、数列の2つの解$\alpha$と$\beta$は次のように示されます。

$$ \alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2}, \quad \beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2} $$

ここにおいて、$D$は判別式として定義され、数列を特定する上で重要です。このリュカ数列は、二階線形回帰数列の一種であり、フィボナッチ数列や他の多くの重要な数列と関連しています。

用語定義

リュカ数列に関連して、$U_n$および$V_n$はそれぞれ$(P, Q)$に伴う数列を指します。特に$V_n$は同伴リュカ数列と呼ばれ、数列の性質を理解するのに重要な役割を果たします。数列が非退化（non-degenerate）である場合と退化（degenerate）である場合があります。非退化の場合、$\frac{\alpha}{\beta}$が1の冪根でないとされます。また、$D$を割り切らない素数$p$が$U_n$を割り切るが、$U_m$（$m < n$）を割り切らないとき、この$p$は原始約数（primitive divisor）と呼ばれます。

例

具体的な例としては、$U_n (1, -1)$がフィボナッチ数となり、$V_n (1, -1)$がリュカ数として知られています。また、$Un (3, 2) = 2^{n-1}$はメルセンヌ数、$Vn (3, 2) = 2^{n+1}$はフェルマー数を含むことがわかります。さらに、$U_n (2, -1)$と$V_n (2, -1)$はペル数に該当します。

数列の性質

リュカ数列は多くの興味深い性質を持っています。たとえば以下のような等式が成り立ちます。

1. $V_n^2 - DU_n^2 = 4Q^n$
2. $U_n^2 - U_{n-1}U_{n+1} = Q^{n-1}$
3. $DU_n = V_{n+1} - QV_{n-1}$

これらの関係式は数列同士の関連性を示しており、特定の数列特性を導き出すための手助けとなります。

整除性に関する性質

リュカ数列の整除性についても多くの性質が知られています。例えば、もし$m | n$ならば$U_m | U_n$が成り立ちます。また、$n$が$m$の奇数倍であるなら$V_m | V_n$も成り立ちます。数列が偶数または奇数である条件についても言及され、$P$と$Q$の取り扱いに応じて異なる整除性を持つことが示されています。

還元と原始約数

リュカ数列の値は、多くの場合原始約数を持つとされています。この特性は数論のさまざまな分野において重要です。特に、$D > 0$のとき、非退化の数列はほとんどの場合原始約数を持ちますが、特定の例外も存在します。カーマイケルによって示されたこれらの性質は、数列の研究における基盤となっており、今後の研究や数学的探求においても貴重なリソースです。最後に、リュカ数列は数学における重要な役割を果たし、数多くの理論や実践に貢献しています。

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