フェルマー数とは？意味をやさしく解説

フェルマー数について

フェルマー数とは、次のように定義される自然数のことである：

- F_n = 2^{2^n} + 1 （n は非負整数）

この数は、特に数論において重要な役割を果たしており、通常 F_n という記号で表記される。

背景

この数の名前は、17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマーに由来している。彼は、これらの数が常に素数になると予想していたが、17 3 2年にレオンハルト・オイラーが n = 5 の場合に合成数であることを示したことで、その予想は誤りであることが明らかになった。このように、フェルマー数の中には素数であるものとそうでないものがある。素数であるフェルマー数は特に「フェルマー素数」と呼ばれている。

初期のフェルマー数の計算

初めのいくつかのフェルマー数は以下のように求められる：

- F_0 = 2^{2^0} + 1 = 3
- F_1 = 2^{2^1} + 1 = 5
- F_2 = 2^{2^2} + 1 = 17
- F_3 = 2^{2^3} + 1 = 2 57
- F_4 = 2^{2^4} + 1 = 6 5 5 37
- F_5 = 2^{2^5} + 1 = 42949672 97
- F_6 = 2^{2^6} + 1 = 184467440737095 516 17

ここで注目すべきは、F_4 = 6 5 5 37 までは他の小さな素数で割り切れないことが確認されており、したがって素数であることが確定している。しかし、F_5 以降は非常に大きな数であり、計算技術の限界もあって、その素因数を特定するのは困難で、オイラーの発見によりフェルマーの初期の幻想が打ち砕かれた。

性質

基本的な性質

フェルマー数にはいくつかの興味深い性質がある。例えば、全てのフェルマー数は奇数であるため、任意の2つのフェルマー数は互いに素であるという特徴がある。また、整数 n に対して、さまざまな合同式を満たすことが知られている。特に、

- n ≥ 2 の場合、F_n ≡ 17 or 41 (mod 72)
- n ≥ 2 の場合、F_n ≡ 17, 37, 57 or 97 (mod 100)

さらに、m = 2n の形の素数がフェルマー数に関連している。

フェルマー数の素因数

エドゥアール・リュカによって示されたように、フェルマー数 F_n の素因数は特定の形を満たすことが知られている。具体的には、k · 2^n + 2 + 1 (k ≥ 3) の形になっているほか、フェルマー数の素因数全体の集合を考えた場合、その収束に関する興味深い結果も存在する。特に、任意の n に対して、k · 2^n + 1 (k = 1, 2, …) の形の素数が無数に存在することが知られている。

フェルマー素数

素数であるフェルマー数は「フェルマー素数」と呼ばれ、現在のところ確認されているのは以下の5つである：

- 3, 5, 17, 2 57, 6 5 5 37

これらの数の性質や素数分解については多くの研究がされており、特にオイラーの業績が重要視されている。オイラーは、F_5 の素数因数の一例を見つけるなど、フェルマー数に関連する数々の発見をしてきた。

素数判定法

フェルマー数に対する素数判定法の一つに「ペピン・テスト」が存在する。このテストを利用することで、ある特定の条件を満たす場合にフェルマー数が素数かどうかを確認できる。具体的には、次の条件を満たす場合に F_n が素数であると判断できる。

- F_n ∣ 3^{(F_n−1)/2} + 1 である場合

未解決問題

フェルマー数に関連する未解決問題も多く存在する。特に、平方因子を持たないフェルマー数が存在するかどうかは未だに解明されていない。また、F_m の素因数がどのように分岐するかも興味深い研究対象となっている。

結論

このように、フェルマー数は数論における重要なテーマであり、さまざまな性質や未解決の問題が存在している。今後の研究により、さらなる発見が期待される分野である。

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