リー代数の随伴表現

リー代数の随伴表現

リー代数の随伴表現（英: adjoint representation of a Lie algebra）とは、あるリー代数
${rak g}$ の交換子を用いて、このリー代数から行列環 ${rak gl}({rak g})$ への準同型写像を指します。実際にこの随伴表現はどのように定義され、どのような性質を持つのかを詳しく見ていきましょう。

定義

リー代数 ${rak g}$ を考え、任意の元 $x ext{ ∈ } {rak g}$ に対して、線型変換を次のように定義します。

$$
ext{ad}_x: {rak g} o {rak g},
ext{ad}_x(y) = [x,y]
$$

ここで、$y$ は同じく ${rak g}$ の元です。$ ext{ad}_x$ は $y$ に対して $x$ との交換子 $[x,y]$ を返すため、各 $x$ に対し正確に定義された線型変換となります。このとき、全体の写像は次のように捉えられます。

$$
ext{ad}: {rak g} o {rak gl}({rak g}),
x o ext{ad}_x
$$

これがリー代数 ${rak g}$ の随伴表現となります。

性質

リー代数の元 $x, y, z ext{ ∈ } {rak g}$ に対して、以下の関係が成り立ちます。

$$
ext{ad}_{x,y]}(z) = [ ext{ad}_x, ext{ad}_y
$$

この式は、隣接の交換子に関連する性質を示しており、どのように隣接する変換が相互に作用するかを示しています。これにより、随伴表現がリー代数の構造を保持することが確認できます。

随伴表現のリー群との関係

リー群 $G$ の単位元における接空間は、次のようにリー代数 ${rak g}$ と関連しています。

$$
T_e G = {rak g}
$$

ここで、$T_e G$ は $G$ の単位元 $e$ における接空間を示しています。このリー群に付随するリー代数を求めることが、随伴表現の理解においても重要です。

リー群 $G$ の随伴表現を $Ad$ と呼び、その接続におけるデリバティブは次のように表されます。

$$
d(Ad)_e = ext{ad}: {rak g} o {rak gl}({rak g})
$$

この関係により、リー群とそのリー代数の間の深い関係性が示され、随伴表現がどれほどの重要性を持つかを理解するための鍵となります。

結論

リー代数の随伴表現は、単に理論的な概念を超えて、リー代数とリー群間の構造的な関係を明らかにします。それにより、数学の様々な分野、特に物理学や幾何学において深い応用が見出されています。これに関するさらなる研究と理解が、数学的な枠組みの発展に寄与することでしょう。

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