随伴表現

リー群の随伴表現の概要

リー群とそのリー代数は、数学の多くの分野で非常に重要な役割を果たしています。特に、リー群に関連する随伴表現は、リー群の元を線型変換として扱う手法であり、これによりリー代数の構造を理解する手助けとなります。

随伴表現の定義

まず、リー群を $G$、そのリー代数を $\mathfrak{g}$ と表します。リー代数は、リー群の単位元付近の接空間を意味しており、これにより群の局所的な性質を捉えることができます。ここで、群の元を $g \in G$ とし、別の元を $h \in G$ とすると、次のような写像が定義されます。

$$
\phi_g: G \to G, \quad \phi_g(h) = ghg^{-1}.
$$

この写像は $G$ の内部自己同型写像と呼ばれ、任意の群の元での作用を示しています。さらに、この写像の微分を計算することにより、対応するリー代数の同型写像が得られます。具体的には、次のように書けます。

$$
d(\phi_g)_{e} = Ad_g: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}.
$$

ここで、$Ad_g$ はリー代数の要素に対して線型写像として働きます。これにより、隣接性や構造の理解が深まります。

リー群の準同型

次に、$Ad$ を次のように定義します。

$$
Ad: G \to GL(\mathfrak{g}), \quad g \mapsto Ad_g.
$$

ここで、$GL(\mathfrak{g})$ は $\mathfrak{g}$ の線型自己同型の群を示しています。これによって、リー群の元 $g$ に対して、対応する線型変換が得られるため、群の構造がより具体的に理解できるようになります。

リー代数の随伴表現

次に、リー代数における随伴表現について見ていきます。リー群の随伴表現の微分は、$ad$ という記号で表現され、これをリー代数の随伴表現と呼びます。この表現により、リー代数の内部構造が扱いやすくなり、代数的性質を引き出す手助けとなります。

応用と関連項目

随伴表現の考え方は、物理学や幾何学といったさまざまな分野でも重要な役割を果たしています。特に、対称性や保存則の理解にはリー群とその代数の構造が不可欠です。

また、関連項目にはリー代数やAD（曖昧さ回避）などがあり、これらの概念は互いに密接に関連しています。リー群の研究を進める中で、これらの関連性を深く掘り下げることが重要です。

まとめ

リー群の随伴表現は、数学の深い洞察を与える重要なツールです。リー群の元を利用して、リー代数への変換を通じて、様々な線型性質を探求することができます。このような視点から、隣接性や対称性がどのようにして構成されるのか、さらに探求を続ける意義があります。

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