ルジンの問題

ルジンの問題

「ルジンの問題」は、20世紀初頭のロシアの数学者ニコライ・ルジン（Nikolai Luzin）が提起した、数学における正方形の分割に関する興味深い問いです。この問題の核心は、「与えられた任意の正方形を、辺の長さがすべて異なる2つ以上の小さな正方形の集まりによって、隙間なく完全に覆い尽くすことができるか？」という点にあります。

ルジンは当初、このような条件を満たす正方形の分割は不可能であると予想していました。しかし、その後の数学的な探求の結果、ルジンの予想とは異なり、実際に異なる大きさの正方形のみを用いた分割、すなわちこの問題に対する「解」が存在することが明らかになりました。

正方形の「完璧な」分割

異なる大きさの正方形だけで元の正方形を分割できたとき、特に「シンプル」な分割（中にさらに小さな正方形で分割可能な長方形を含まないもの）や「パーフェクト」な分割（すべての小さな正方形の大きさが異なるもの）と呼ばれます。ルジンの問題は、このパーフェクトな分割が可能かという問いでした。

複数の解が発見される中で、使用する小さな正方形の数が最も少ない、すなわち「最小個数」の解が注目されました。この最小個数の解は、21個の異なる大きさの正方形から構成されるものであり、数学者のA. J. W. Duijvestijnによって発見され、これが実際に最小の個数であることもコンピュータを用いた手法で証明されました。

この最小解において分割される元の正方形は、一辺の長さが112単位です。そして、それを構成する21個の小さな正方形の一辺の長さは、以下の通りです。

* 使用される辺の長さ:
2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42, 50

これらの正方形を組み合わせて、元の112×112の正方形を隙間なく埋めます。その配置は独特で、例えば上から順にグループ化された辺の長さを示す表記法が用いられることがあります。

`[50, 35, 27], [8, 19], [15, 17, 11], [6, 24], [29, 25, 9, 2], [7, 18], [16], [42], [4, 37], [33]`

この分割の正当性は、面積の合計を計算することで確認できます。21個の小さな正方形の面積の合計は、


2² + 4² + 6² + 7² + 8² + 9² + 11² + 15² + 16² + 17² + 18² + 19² + 24² + 25² + 27² + 29² + 33² + 35² + 37² + 42² + 50²
= 4 + 16 + 36 + 49 + 64 + 81 + 121 + 225 + 256 + 289 + 324 + 361 + 576 + 625 + 729 + 841 + 1089 + 1225 + 1369 + 1764 + 2500
= 12544


となり、これは元の正方形の面積 112² = 12544 と一致します。

Duijvestijnは21個の解以外にも、22個の正方形を用いた解なども発見しており、中には元の正方形の一辺が110と、21個の最小解（112）よりも小さい例も存在します。

立方体の分割との対比

正方形の分割が可能であったのに対し、同様の条件を三次元の立方体に適用した場合、すなわち「任意の立方体を、有限個のすべて異なる大きさの小さな立方体で隙間なく分割することは可能か？」という問いに対する答えは異なります。

結論から言うと、このような有限個の異なる大きさの立方体による分割は不可能です。この事実は、比較的簡潔な背理法によって証明することができます。

証明の概略は以下のようになります。
もし、ある立方体Aが有限個の異なる大きさの小さな立方体で分割できたと仮定します。このとき、立方体Aの底面は、分割に使われた立方体の底面（すべて異なる大きさの正方形）によって埋め尽くされます。これらの底面の正方形の中で、最も小さいものを考えます。この最も小さい正方形は、必ず他のより大きな正方形に四方を囲まれて存在することになります。

さて、この底面で最も小さい正方形を底面とする小さな立方体は、それに隣接する他のどの立方体よりも高さが低くなります。したがって、その上方には、周囲の高い立方体によって囲まれた、正方角柱状のくぼみが生まれます。このくぼみの底面は、底面全体で最も小さかった正方形と同じ大きさです。

このくぼみをさらに小さな立方体で埋めることを試みますが、くぼみの底面より大きい、または等しい大きさの立方体は入りません。結果として、くぼみにはくぼみの底面より小さい立方体を用いる必要が生じます。しかし、くぼみの底面もまた、もともとの仮定に基づけば、すべて異なる大きさの正方形によって分割されるべき領域です。このプロセスは無限に繰り返され、常に新たな最も小さなくぼみが生成され、それを埋めるためにますます小さな異なる大きさの立方体が必要となるという堂々巡りに陥ります。

これは、最初の仮定である「有限個の異なる大きさの立方体で分割できる」という条件と矛盾します。この無限の連鎖は、有限個という前提が成り立たないことを示唆するからです。したがって、立方体を有限個のすべて異なる大きさの立方体で分割することは不可能であると結論付けられるのです。

ルジンの問題は、単純な幾何学的問いでありながら、次元の違いが分割の可能性に大きな影響を与えることを示す好例として、数学の分野で興味を持たれています。

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