正方形
正方形(せいほうけい、英: square)は、すべての辺の長さが等しく、4つの
角が直
角(90度)である四
角形です。この特性から、正方形は通常「真四
角(ましかく)」と呼ばれることもあります。これにより、正方形は平面
幾何学において非常に特別な位置を占めています。正方形は、正多
角形の一種であり、長方形や菱形、平行四辺形、台形、凧形などさまざまな形状の特別なケースとも考えられます。
正方形の基本的な特性
正方形の
面積は、一辺の長さを自乗することで算出できます。また、正方形の対
角線の長さにその長さの半分をかけても
面積が求められます。このように、正方形には独自の
面積計算方法があります。加えて、正方形の
面積は、対
角線を長さとし、他方の辺を幅とする長方形の
面積とも等しいのです。
他の図形との関係
長方形と正方形
正方形は、4つの
角が等しいため、すべての正方形は長方形の一種です。ただし、長方形は一般に「4つの辺が全て等しい」という条件を満たさないため、すべての長方形が正方形であるわけではありません。
菱形と正方形
正方形の対
角線には、長さが等しく、また直交する性質があります。逆に、対
角線の長さが等しい菱形も正方形になる可能性があります。ただし、菱形は必ずしも4つの
角が直
角であるとは限らないため、通常は正方形とは異なります。
平行四辺形と正方形
正方形の向かい合う辺は常に平行であり、これにより正方形は平行四辺形の一種でもあります。しかし、平行四辺形は一般に他の条件を満たさないため、すべての平行四辺形が正方形とはなりません。
台形と正方形
正方形は向かい合う1組の辺が平行な台形の特別な場合でもありますが、台形の構造は一般に平行四辺形の特性を持たないことが多いため、正方形は台形の一部と言えます。
凧型と正方形
正方形は、全ての辺の長さが等しいため、特定の条件を満たす凧型でもありますが、凧型が必ずしも正方形であるとは限りません。
正方形の独自の特性
正方形は、他の図形の全ての性質を持つと同時に、自身独自の特性もいくつか抱えています。全ての正方形は互いに相似であり、同じ辺の長さを持つ正方形は合同です。また、正方形の対
角線は等長で直交し、その交点は
重心です。正方形は点対称であり、これにより90度回転させても元の位置に重なる特性があります。さらに、対称軸を4本持つことから、折り返しでも重なります。
数学における正方形
正方形はまた、さまざまな数学的問題にも関連しており、「任意の正方形を異なる大きさの正方形に分割できるか」といったルジンの問題が有名です。これは長年未解決のままだったが、後にいくつかの解法が発見されています。正方形の周辺には、立方体や特定の
地図投影法など、様々な数学的概念が密接に関連しています。
正方形は、数学のみならず日常生活にも広く用いられる形状であり、例えば一般的な
折り[[紙]]は正方形の
紙として知られる等、私たちの身近な存在でもあります。