正方形

正方形

正方形（せいほうけい、英: square）は、すべての辺の長さが等しく、4つの角が直角（90度）である四角形です。この特性から、正方形は通常「真四角（ましかく）」と呼ばれることもあります。これにより、正方形は平面幾何学において非常に特別な位置を占めています。正方形は、正多角形の一種であり、長方形や菱形、平行四辺形、台形、凧形などさまざまな形状の特別なケースとも考えられます。

正方形の基本的な特性

正方形の面積は、一辺の長さを自乗することで算出できます。また、正方形の対角線の長さにその長さの半分をかけても面積が求められます。このように、正方形には独自の面積計算方法があります。加えて、正方形の面積は、対角線を長さとし、他方の辺を幅とする長方形の面積とも等しいのです。

他の図形との関係

長方形と正方形

正方形は、4つの角が等しいため、すべての正方形は長方形の一種です。ただし、長方形は一般に「4つの辺が全て等しい」という条件を満たさないため、すべての長方形が正方形であるわけではありません。

菱形と正方形

正方形の対角線には、長さが等しく、また直交する性質があります。逆に、対角線の長さが等しい菱形も正方形になる可能性があります。ただし、菱形は必ずしも4つの角が直角であるとは限らないため、通常は正方形とは異なります。

平行四辺形と正方形

正方形の向かい合う辺は常に平行であり、これにより正方形は平行四辺形の一種でもあります。しかし、平行四辺形は一般に他の条件を満たさないため、すべての平行四辺形が正方形とはなりません。

台形と正方形

正方形は向かい合う1組の辺が平行な台形の特別な場合でもありますが、台形の構造は一般に平行四辺形の特性を持たないことが多いため、正方形は台形の一部と言えます。

凧型と正方形

正方形は、全ての辺の長さが等しいため、特定の条件を満たす凧型でもありますが、凧型が必ずしも正方形であるとは限りません。

正方形の独自の特性

正方形は、他の図形の全ての性質を持つと同時に、自身独自の特性もいくつか抱えています。全ての正方形は互いに相似であり、同じ辺の長さを持つ正方形は合同です。また、正方形の対角線は等長で直交し、その交点は重心です。正方形は点対称であり、これにより90度回転させても元の位置に重なる特性があります。さらに、対称軸を4本持つことから、折り返しでも重なります。

数学における正方形

正方形はまた、さまざまな数学的問題にも関連しており、「任意の正方形を異なる大きさの正方形に分割できるか」といったルジンの問題が有名です。これは長年未解決のままだったが、後にいくつかの解法が発見されています。正方形の周辺には、立方体や特定の地図投影法など、様々な数学的概念が密接に関連しています。

正方形は、数学のみならず日常生活にも広く用いられる形状であり、例えば一般的な折り紙は正方形の紙として知られる等、私たちの身近な存在でもあります。

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