レイランド数

レイランド数とは

レイランド数（Leyland number）とは、数論において特定の形の整数を指します。具体的には、次のような計算式で表されます：

$$ x^y + y^x $$

ここで、$x$ と $y$ は共に1より大きい整数です。この概念は、数学者ポール・レイランドに由来します。レイランド数のリストを小さい順に並べると、次のようになります：

• - 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649, 2169, ...

レイランド数において、$x$ と $y$ が共に1より大きいという条件は、全ての正の整数がレイランド数として数えられないようにするために重要です。さらに、加算の交換性を考慮し、$x
eq y$ である場合、通常は $x imes y ext{ かつ } y ext{は} x ext{ より小さい}$ とすることで、重複を避けます。これにより便宜上、条件は通常 $1 < y ext{, } y ext{ の値は } ext{ } x$ と設定されます。

レイランド素数

レイランド素数は、レイランド数であり、さらに素数でもある特定の数を指します。小さい順に並べると、以下のようになります：

• - 17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, ...

これに対応する具体的な計算は次のようです：

• - $32 + 23$
• - $92 + 29$
• - $152 + 215$
• - $212 + 221$
• - $332 + 233$
• - $245 + 524$
• - $563 + 356$
• - $3215 + 1532$

また、特定の $y$ の値を維持しながら、異なる $x$ の値を取り入れ、$x^2 + 2^x$ の形で素数が成立する場合もあります。例えば、次のような $x$ の値が挙げられます：3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, ...

2012年11月までに確認された中で最大のレイランド素数は、$51226753 + 67535122$ であり、これは25050桁の数字です。これは2011年の初頭から春にかけて、楕円曲線による素数証明によって明らかにされたものでした。しかし、その数は2012年12月には、$311063 + 633110$（5596桁）と $86562929 + 29298656$（30008桁）が素数であることが確認され、前者を超える記録となりました。今後、巨大なレイランド数が素数かどうかを証明することは非常に難しく、特に合成レイランド数の分解に関しては、XYYXFというプロジェクトが立ち上がっています。

第2種レイランド数

第2種レイランド数は、以下のように定義される整数です：

$$ x^y - y^x $$

こちらでも、$x$ と $y$ は共に1より大きい整数であり、負の結果を除いた数を小さい順に並べると次のようになります：

• - 0, 1, 7, 17, 28, 79, 118, 192, 399, 431, 513, 924, 1844, 1927, 2800, ...

第2種レイランド素数に関しては、次のような数が確認されています：

• - 7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, ...

このように、レイランド数及びレイランド素数は数論の興味深い研究対象であり、数の性質やパターンにおける深い関連性を探求するための基盤を提供しています。

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