レピュニット

レピュニットについて

レピュニット（Repunit）とは、全ての桁が「1」で構成される自然数のことを指します。具体的には、1、11、111、1111といった数字が該当します。この言葉は「repeated unit」の略で、1[[9]]66年に数学者のアルバート・ベイラーによって「Recreations in the Theory of Numbers」という書籍で名付けられました。

レピュニットの定義

レピュニットの形は次の式で表現されます。

$$
R_{n} = \frac{10^{n} - 1}{9}
$$

ここで、nは桁数を示します。たとえば、nが2、1[[9]]、23、317、10[[3]]1などのとき、対応するレピュニットは素数であることが知られています。また、2進法におけるn桁のレピュニットはメルセンヌ数として表され、以下のように定義されます。

$$
M_{n} = 2^{n} - 1
$$

レピュニットが素数の形式を持つ場合は特別なレピュニット素数（Repunit prime）と呼ばれ、無限に存在することが予想されていますが、これはまだ証明されていません。

レピュニットの特性

レピュニットが持つ興味深い特性や法則の一つに、mがnを割り切る場合、$R_{m}$は$R_{n}$を割り切るという性質があります。したがって、nが合成数である場合、$R_{n}$も合成数になります。また、100を法とすると、11と合同な平方数は存在しないため、平方数の中でレピュニットに該当するのは「1」のみです。

レピュニットの数の桁数のうち、3の累乗に該当する形式（n=3, 9, 27など）の各レピュニットは全て、ハーシャッド数と呼ばれる特性も持っています。これにより、レピュニットが十分に支配的であることが示されます。

レピュニットに見られる約数

レピュニットの約数に関する興味深い観察もあります。たとえば、nが偶数の場合は「11」が必ず含まれ、4の倍数の場合は「11・101」が含まれ、6の倍数の場合は「3・7・11・1[[3]]・37」が見られます。nの値によっては稀なパターンも存在し、素数nにおいてはレピュニットの素因数分解における背景色によって特定の性質を示すことができます。

レピュニット素数の発見

現在、素数とされているレピュニットの値としてn=2, 1[[9]], 23, 317, 10[[3]]1、そして最近ではn=49081が確認されています。特に、2022年3月にレピュニット49081が素数であることが証明されるまで、1[[9]]99年に発見された確率的素数としての地位を保持していました。これには長い年月がかかり、23年もの時間を経て、ようやく完全な素数判定が行われました。

一般化と基数の拡張

レピュニットは基数10以外でも定義することが可能です。基数aに関してn桁のレピュニットは次のように表されます。

$$
R_{n}(a) = \frac{a^{n} - 1}{a - 1}
$$

基数が素数のとき、この形式は特異な性質を持ちますが、10を基とした場合のレピュニットは特に興味深い研究を日々生み出しています。これにより、数学の様々な領域でレピュニットに関する新たな発見が期待されます。

まとめ

レピュニットはただの数字の構造ではなく、数学的な探究の舞台裏と素数の特性に関連する重要な概念です。今後も多くの研究者によってその性質が探求され続けるでしょう。

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