ハーシャッド数

ハーシャッド数について

ハーシャッド数とは、自然数の中で、各位の数字の和がその数の約数に含まれるものを指します。特に、インドの数学者D. R. カプレカルによって定義され、サンスクリット語に由来しています。別名ニーベン数とも呼ばれ、英語では「harshad number」と表記されます。

定義と特徴

具体的には、ある自然数Xを考え、その数の各位の数字を足し合わせたものをSとしたとき、SがXの約数となる場合にXはハーシャッド数と言います。例えば、315の場合、数の各位の和は3 + 1 + 5 = 9であり、9は315の約数なので、315はハーシャッド数の一つです。

数の表現

自然数Xをn進法で扱う場合、Xは以下のように表されます。

$$X = ext{sum}_{k=1}^{m} a_k n^{k-1}$$

ここで、$a_k$は右からk番目の数字を示しています。このXがハーシャッド数であるのは、次の条件を満たす自然数Aが存在する場合です。

$$X = A ext{sum}_{k=0}^{m} a_k$$

これにより、ハーシャッド数の特性を数学的に捉えることができます。

性質

ハーシャッド数にはいくつかの興味深い性質があります。その一つが、n進法で1からnまでの数字及びnの自然数の累乗は必ずハーシャッド数であるということです。特に、1, 2, 4, 6の4つの数字は、すべての進法においてハーシャッド数になります。これに伴い、ほとんどのハーシャッド数は合成数とされています。1桁の素数および10自体が素数である場合を除きます。

1994年にはH. G. Grundmanが、十進法において21個以上連続する自然数がすべてハーシャッド数になる組は存在しないことを証明しました。また、20個の連続する自然数がハーシャッド数である最小の組を1044363342786より大きな数で見つけました。一方、二進法ではハーシャッド数が4つの連続した自然数として無限に存在し、三進法でも6つの連続した自然数が成り立つことが知られています。

ハーシャッド数の例

最小のハーシャッド数は1であり、次に続く十進法でのハーシャッド数を小さい順に挙げると、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30 などが続きます。これらはオンライン整数列大辞典に記録されています。さらに、数を0で続けることで新たにハーシャッド数を生成することが可能です。たとえば、21から201や2001といった数を作ることができます。

さまざまな数列

ハーシャッド数には多くの関連する数列があり、例えばフィボナッチ数や三角数、平方数、立方数などにおいても調べることができます。また、特定の条件を満たすハーシャッド数がどれほど存在しているかを示すさまざまなリストも存在し、それぞれの数の特性が興味深い組み合わせを形成しています。

まとめ

ハーシャッド数は数学の中で特異な数群であり、数の性質や構造を理解する上で重要な役割を担っています。興味深い性質を持ちながら、多数の発展可能性を秘めているこの独特な数の特性は、さらなる探求を促します。

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