レプトン数

レプトン数について

レプトン数（lepton number）は、素粒子物理学において、粒子の特性を示す重要な量子数の一つです。この量子数は、レプトンの数から反レプトンの数を引いたもので、数式で表現すると以下のようになります。

$$
L = n_ℓ - n_{ℓ̅}
$$

ここで、$n_ℓ$ はレプトンの数、$n_{ℓ̅}$ は反レプトンの数を指します。すなわち、すべてのレプトンには+1、反レプトンには-1の値が割り当てられ、レプトンでない粒子には0が与えられます。レプトン数は加法的な量子数であるため、相互作用の前後でこの数は保存されます。これは、パリティのように乗法的な量子数と異なる特性です。

レプトンファミリー数の定義

レプトン数の他にも、レプトンファミリー数が定義されています。これには以下の三つがあります：

• - 電子及び電子ニュートリノの数（電子レプトン数） $L_e$
• - ミュー粒子及びミューニュートリノの数（ミューレプトン数） $L_μ$
• - タウ粒子及びタウニュートリノの数（タウレプトン数） $L_τ$

それぞれのファミリーにおいても、粒子が+1、反粒子が-1、異なるファミリーや非レプトン粒子は0とされ、このファミリー数の和がレプトン数を構成しています。

レプトン数保存則

素粒子物理学における多くの理論、特に標準模型では、レプトン数保存則が成り立っています。これは、相互作用を通じてレプトン数が不変であることを意味します。たとえば、ベータ崩壊において、以下のようにレプトン数が保存されていることが確認できます。

$$
n
ightarrow p + e^{-} + ar{ν}_e
$$

この反応において、中性子はバリオンであり、反応前にはレプトンが存在しないため、前の状態のレプトン数は0です。反応後の陽子は0、電子は+1として、反ニュートリノは−1とされるため、全体のレプトン数も再び0となります。

また、ミュー粒子の崩壊においても、レプトンファミリー数が保存されることが示されています。

$$
egin{align}
μ^{-} &
ightarrow e^{-} + ar{ν}_e + ν_μ \
L & : 1 = 1 - 1 + 1 \
L_e & : 0 = 1 - 1 + 0 \
L_{μ} & : 1 = 0 + 0 + 1
egin{align}

このように、電子数（$L_e$）およびミュー数（$L_μ$）が保存されることから、レプトンファミリー数保存則が成り立ちます。

レプトン数保存則の破れ

一方、標準模型によると、ニュートリノが質量を持たない場合、レプトンファミリー数は保存されるべきです。しかし、ニュートリノ振動が観測されたことで、ニュートリノは微小な質量を持つことが分かり、レプトンファミリー数保存則は近似に過ぎないことが示されています。これは荷電レプトンを含む相互作用においてニュートリノの質量が小さいために成り立っていますが、一方で全レプトン数保存則は標準模型の下で確立されるべきです。

稀に発生するミュー粒子崩壊の例では、レプトン数が保存されないことが示されています。

$$
egin{align}
μ^{-} &
ightarrow e^{-} + ν_e + ar{ν}_μ \
L & : 1 = 1 + 1 - 1 \
L_e & : 0
eq 1 + 1 + 0 \
L_{μ} & : 1
eq 0 + 0 - 1
egin{align}

この場合、全レプトン数やファミリー数の保存則が破れていることが確認されます。さらに、カイラルアノマリーが存在する限り、(全)レプトン数の保存も難しい課題として残ります。

とはいえ、量子数B-Lは保存されると考えられており、Pati-Salamモデルなどのさまざまな理論においてその重要性が示されています。

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