量子数

量子数とは

量子数（りょうしすう、英: quantum number）は、量子力学において物理状態や粒子の性質を特定するための指標です。量子数はそれぞれ異なる物理的側面を表し、特に電子などの微細な粒子のエネルギー準位やスピン状態を理解する上で欠かせない要素です。

1粒子系と量子数

1粒子系において、シュレーディンガー方程式はハミルトニアンに関連する固有値問題に帰着されます。これにより、エネルギー固有状態と対応するエネルギー固有値の組が得られます。これらの解を識別するためには、量子数が使用されます。

特に、エネルギー固有状態は4つの量子数、すなわち主量子数（n）、方位量子数（l）、磁気量子数（ml）、スピン量子数（ms）で区別されます。それぞれの量子数には明確な制限が存在し、以下のように定められています。

• - 主量子数 (n): 1, 2, 3, …
• - 方位量子数 (l): 0, 1, 2, ..., n-1
• - 磁気量子数 (ml): 0, ±1, ±2, ..., ±l

特に、方位量子数は0からn-1までの整数で、磁気量子数は|ml| ≤ lという範囲に制約されます。

パウリの排他原理

パウリの排他原理によると、同じ量子状態を持つ電子はただ一つの状態にしか存在できません。この原理は、特にスピンが半整数の粒子（フェルミ粒子）に適用されますが、整数スピンを持つ粒子（ボーズ粒子）には当てはまりません。また、フントの規則により、電子が同じスピンで異なる磁気量子数を持つ軌道に順番に配置されることが知られています。

水素原子の量子数

水素原子では、特定の量子数がそれぞれのエネルギー準位を表します。例えば、n=1, l=0の場合、これは1s軌道と呼ばれ、ここには異なるスピンを持つ2つの電子が入ります。また、n=2, l=1, ml=1の場合は2pz軌道となり、同様に異なるスピンを持つ2つの電子がこの軌道に配置されます。多電子系の場合でも、有効核電荷の概念を用いることで水素原子型に帰着できることがあります。

量子数の具体例

主量子数nは、電子が持つ波動関数が原子半径方向の定常波を示す役割を果たします。水素原子のような単純なモデルでは、固有値εnは主量子数nのみの関数として表現され、特定のエネルギー値をとります。

例えば、固有値は次のように定義されます。

$$
arm ε_n = -rac{Z^2 . m_e . e^4}{(4 ext{π} . ε_0)^2 2 ext{hbar}^2} rac{1}{n^2} = -rac{ ext{constant}}{n^2}
$$

ここでZは原子番号を示し、水素原子の場合Z=1です。この固有値は、nの値に基づいて固有状態の数を決定する上で重要です。

素粒子と量子数

素粒子も多くの量子数を含みます。量子数は物理的な対称性を示し、例えばスピンやパリティ、Cパリティ、Tパリティなどが含まれます。これらの量子数は時空対称性に関連しており、レプトン数やバリオン数などの内部対称性にも関連します。

保存法律もさまざまな量子数に関連付けられ、一般に加法的なものと乗法的なものに分類されます。加法的な量子数は全体的な保存を示し、乗法的な量子数は対称性変換に依存します。

量子数の選定と多様性

量子数は唯一の組ではありません。対応する状態を区別できるように選べばいくつでも存在しうるのです。たとえば、多粒子系の各粒子の位置や運動量、およびエネルギー固有値に基づいて量子数を選択することができます。この場合、量子数は個々の系の性質に応じて変化し、場合によっては連続的にも離散的にもなりえます。

結論

量子数は量子力学における基本的な構成要素であり、さまざまな物理系を理解するための基盤となります。特に電子や素粒子の性質に関する理解を深める上で、量子数の役割を無視することはできません。学問の進展により、この分野での新たな発見が期待されます。

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