ロジット

ロジットとは、確率p（0から1の値をとる）を変換するために用いられる数学的な関数です。具体的には、以下の式で定義されます。


logit(p) = log(p / (1 - p)) = log(p) - log(1 - p)


ここで、logは自然対数を示します。この式からわかるように、ロジットは確率pをオッズ（p / (1 - p)）に変換し、さらにそのオッズの自然対数をとることで得られます。この変換により、確率が0から1の間で変化するのに対し、ロジットは実数全体をとりうるため、統計モデリングにおいて扱いやすくなります。

ロジット関数は、ロジスティック関数の逆関数として定義されます。ロジスティック関数は、以下の式で表されます。


expit(α) = 1 / (1 + exp(-α)) = exp(α) / (1 + exp(α))


ロジットは、特に確率論や統計学の分野で頻繁に利用されます。確率論では、pはある事象が発生する確率を表し、「確率pのロジット」という表現が用いられます。p / (1 - p)はオッズを表し、ロジットはオッズの対数にあたります。また、2つの確率のロジットの差は、オッズ比の対数に相当します。この性質から、ロジットは確率の変化を分析する際に非常に有用です。

ロジットは、統計モデリングにおいても重要な役割を果たします。特に、ロジットモデルは、ある事象の発生確率を説明する際に広く利用されます。最もシンプルなロジットモデルは以下の式で表されます。


logit(pi) = a + b xi


ここで、piはベルヌーイ試行においてi回目の試行で「成功」する確率、xiはその成否に影響を与える何らかの数値です。例えば、xiを心臓発作で病院に搬送された患者の年齢とし、「成功」を病院到着前に死亡した場合と定義することができます。統計学では、複数のケースについてxiの値と「成功」「失敗」を観測し、最尤法を用いてaとbの値を推定します。これにより、xiの値が与えられた場合に「成功」する確率を推定することができます。

ロジスティック回帰におけるロジットは、一般化線形モデルにおけるリンク関数の特別なケースです。リンク関数とは、応答変数の期待値と予測子との関係を規定する関数のことです。ロジットは、応答変数が二値（成功か失敗か）である場合に、予測子との関係を線形に表現するために用いられます。この関係は、確率を直接モデリングするのではなく、確率のロジットをモデリングすることで達成されます。

ロジットモデルの他にも、プロビットモデルと呼ばれるモデルも存在します。プロビットモデルは、ロジットモデルと同様に二値変数をモデリングする際に用いられますが、分布の仮定が異なります。ロジットモデルはロジスティック分布を仮定するのに対し、プロビットモデルは正規分布を仮定します。プロビットモデルは、確率分布の尾部に注目したモデルと言えます。

ロジットは、心理学や教育学における評価で利用されるラッシュモデルのような確率的測定モデルでも重要な役割を担います。これらのモデルは、回答者の能力や項目の難易度を評価する際に用いられ、ロジット変換が用いられています。

関連事項

ダニエル・マクファデン：経済学におけるロジットモデルの応用でノーベル[[経済学賞]]を受賞しました。
ロジスティック式
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プロビット
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