ローレンツ曲線

ローレンツ曲線について

ローレンツ曲線とは、経済的な分布の集中度を視覚的に表現する手法です。特に、ある集団の中での所得分布を分析する際に有用です。この曲線は、集団に含まれる下位群の期待値を全体の期待値で割った値をプロットすることで構成されます。ローレンツ曲線は、1905年にマックス・O・ローレンツによって提案され、多くの場合、富の集中度を測る指標として利用されています。

ローレンツ曲線の定義

ローレンツ曲線は、下位集団の割合を変数 F として、関数 L(F) で示されます。全体の期待値を μ で表した場合、連続した分布におけるローレンツ曲線は次のように定義されます。

L(F) = \( \frac{ \int_{0}^{F} x(F') dF' }{μ} \)

この式からわかるように、期待値がゼロまたは無限の場合、ローレンツ曲線の定義は意味を成しません。したがって、有限で0でない期待値を持つ集団に対してのみローレンツ曲線を定義できます。

所得格差の指標

ローレンツ曲線を通じて、国家の所得格差を視覚化することができます。具体的には、国民を所得の低い順に並べ、特定の下位群（例えば下位10%）の所得合計が全体の所得合計の何パーセントであるかを示すことができます。これを表すと、

y = L(F) という関係式が成立します。

完全に平等な社会、すなわち所得格差が存在しない場合、ローレンツ曲線は45度線に一致します。この45度線は、「完全均等分配線」と呼ばれ、理想的な所得分配の指標として機能します。ローレンツ曲線と45度線の間に囲まれた面積を2倍した値がジニ係数となり、これが所得格差の程度を示す尺度です。所得が完全に平等であれば、ジニ係数は0になりますが、一部の個人に富が集中している場合、ジニ係数は1に近づきます。

ローレンツ曲線の計算

ローレンツ曲線は、確率密度関数 f(x) や累積分布関数 F(x) を使って様々に書き換え可能です。ここで、x(F) は累積分布関数 F(x) の逆関数です。累積分布関数の性質を使うことで、ローレンツ曲線の定義をより詳しく評価することができます。

例えば、次のような表現が可能です：

\( \int_{-\infty}^{x(F)} x f(x) dx = \int_{0}^{F} x(F') dF' \)

この式は、運用に際しての数学的記述であり、ローレンツ曲線の計算において非常に重要です。

参考文献

ローレンツ曲線に関する詳細な情報は、以下の出典を参照できます：

• - Lorenz, M. O. (1905). “Methods of measuring the concentration of wealth”. Publications of the American Statistical Association, 9(70): 209–219.

ローレンツ曲線は、経済学において重要な役割を果たし、所得分配の公平性を分析するためのツールとして広く利用されています。特に、政策形成や経済状況の評価において、その有用性を発揮します。

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