ヴァンデルモンドの行列式

ヴァンデルモンド行列式：定義と性質

線型代数学において、ヴァンデルモンド行列式は特別な正方行列の行列式として定義されます。その名は18世紀のフランスの数学者、アレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンドに由来し、各行が初項1の等比数列となる行列をヴァンデルモンド行列と呼びます。

ヴァンデルモンド行列は、次のような形をしています。


V =
\begin{bmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{bmatrix}


ここで、x₁, x₂,…, xₙ は任意の実数です。この行列の行列式がヴァンデルモンド行列式です。テキストによっては、上記の転置行列をヴァンデルモンド行列とする場合もありますが、行列式は転置によって変化しないため、数学的には同じものです。

ヴァンデルモンド行列式の公式

ヴァンデルモンド行列式の値は、各行の公比の差積で表されます。具体的には、以下の公式が成り立ちます。


det(V) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)


この公式は、x₁, x₂,…, xₙ が全て異なる場合にのみ、行列式が0でないことを意味しています。n=2, 3の場合、以下のようになります。


\begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{vmatrix} = x_2 - x_1

\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix} = (x_3 - x_1)(x_3 - x_2)(x_2 - x_1)

ヴァンデルモンド行列式の証明

この公式の証明方法はいくつかあります。数学的帰納法による証明や、行列式の性質を用いたエレガントな証明などです。ここでは、行列の基本変形を用いた証明の一例を紹介します。

まず、ヴァンデルモンド行列 V に対して、第1列の各成分を適切な係数倍して他の列に加えることで、行列式を変えずに上三角行列に変形します。この操作を繰り返すことで、対角要素の積が行列式となります。結果として、上記の公式が導かれます。詳細な証明は、線型代数の教科書を参照ください。

ヴァンデルモンド行列式の応用

ヴァンデルモンド行列式は、数学の様々な分野で応用されます。特に重要な応用として、ラグランジュ補間が挙げられます。

ラグランジュ補間とは、n個の異なる点(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)を通るn-1次以下の多項式を構成する手法です。この多項式を求める際、係数を求めるための連立一次方程式の係数行列がヴァンデルモンド行列になります。ヴァンデルモンド行列式が0でないことから、この連立一次方程式は一意解を持ち、ラグランジュ補間多項式が一意に定まることが保証されます。

まとめ

ヴァンデルモンド行列式は、その定義、公式、証明、そして応用と、線型代数学において重要な概念です。一見単純な構造を持つ行列式ですが、その背後には興味深い数学的性質が隠されており、ラグランジュ補間など、多くの応用を持ちます。この行列式を理解することは、線型代数学の理解を深める上で非常に重要です。さらに詳しい内容については、線形代数の専門書や参考文献を参照することをお勧めします。

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