等比数列

等比数列とは

等比数列は、隣接する項の比が常に一定である数列のことを指します。この比を公比と呼びます。たとえば、初項が4で公比が3の場合、この等比数列の最初の数値は4, 12, 36, 108と続きます。この数列では、12/4、36/12、108/36といったように、隣接する項の比は常に3です。

一般項の表現

等比数列の一般項は、初項をa、公比をrとして次のように表されます。

\[ a_n = ar^n \]

ここで、aは初項、rは公比、nは項の番号を示します。

この定義により、n番目の項は初項と公比を用いて簡単に計算できます。

性質

等比数列は、漸化式によっても表現できます。具体的には、

\[ \begin{cases} a_0 = a \\ a_{n+1} = ra_n \end{cases} \]

となります。公比が負の場合、数列の符号は項ごとに入れ替わります。たとえば、公比が-2の数列の場合、初項が3であれば、3, -6, 12, -24という形になります。この場合の一般項は次のようになります。

\[ a_n = 3 \cdot (-2)^n = (-1)^n imes 3 imes 2^n \]

等比数列の和

等比数列の初項から第n項までの和は次の公式で求められます。

\[ S_n = \sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(1 - r^{n + 1})}{1 - r} \quad (r
eq 1) \]

ただし、公比が1の場合は、

\[ S_n = (n + 1) a \]

となります。この公式により、特定の範囲の和も容易に計算できます。たとえば、m番目からn番目までの和は、前述の和の公式を用いて求めることができます。

等比級数

等比数列の級数は、一般に等比級数と呼ばれます。初項がa、公比がrの等比級数は次のように表されます。

\[ \sum_{k=0}^{\infty} ar^k = a + ar + ar^2 + \cdots \]

この級数は、初項が0である場合や、公比の絶対値が1未満のときに収束します。この場合、等比級数は次のように求められます。

\[ \sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1) \]

例えば、初項が1で公比が1/2の等比級数は次のように計算できます。

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \]


このようにして、等比数列はその計算のしやすさから、数理学や統計学などさまざまな場面で幅広く活用されています。

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