ヴァンパイア数

ヴァンパイア数（vampire number）とは、ある自然数が持つ特別な性質を持つ数のことを指します。この性質とは、その数に含まれる数字をすべて使って並べ替えた後、それを二つのグループに分け、それぞれを一つの数（牙、ファングとも呼ばれます）とみなしたとき、その二つの数の積が元の数と等しくなるというものです。

定義と特徴

ヴァンパイア数として認められるためには、いくつかの条件があります。

まず、ヴァンパイア数となる自然数は必ず偶数桁でなければなりません。これは、含まれる数字を並べ替えて作られる二つの「牙」が、元の数の桁数のちょうど半分になる必要があるためです。例えば、4桁のヴァンパイア数であれば、二つの「牙」はそれぞれ2桁の数になります。

次に、その二つの「牙」を掛け合わせた結果が、元の数と一致することが条件です。このとき、元の数に含まれる数字と、「牙」に用いられたすべての数字（二つの「牙」の数字を合わせたもの）が、種類と個数において完全に一致している必要があります。

さらに、重要な例外条件があります。それは、二つの「牙」の両方が末尾に0を持つ場合は、ヴァンパイア数とはみなされないという点です。

これらの条件を満たすヴァンパイア数は、定義上すべて合成数となります。

例えば、1260という数はヴァンパイア数です。1260に使われている数字は1, 2, 6, 0です。これらの数字を並べ替えて作られる二つの2桁の数として、21と60の組み合わせがあります。計算すると、21 × 60 = 1260 となり、元の数と一致します。また、一方の牙である21は末尾が0ではなく、もう一方の牙である60は末尾が0ですが、両方が末尾0ではないため、条件を満たします。一方で、例えば 126000 という数には 210 と 600 という牙の組み合わせがありますが、両方とも末尾が0であるため、126000 はヴァンパイア数には含まれません。

歴史と発見

ヴァンパイア数の概念を提唱したのは、アメリカの科学コラムニストであるクリフォード・ピックオーバーです。彼は1994年に、インターネットのニュースグループであるUsenetのsci.mathにおいてこのアイデアを発表しました。その後、彼の著書『Keys to Infinity』（邦題：無限へチャレンジしよう）の第30章でもヴァンパイア数について詳しく記述しています。

性質と多様性

ヴァンパイア数は、定義の性質からフリードマン数の一種であると言えます。フリードマン数は、その数の桁の数字を数式に組み合わせて元の数と同じになる数のことですが、ヴァンパイア数は掛け算のみを用いた特殊なケースとみなせます。

ヴァンパイア数は無数に存在することが知られています。例えば、1530は30 × 51という牙を持ちますが、この数に0を挿入することで、150300 = 300 × 501、15003000 = 3000 × 5001、といった具合に、無限に多くのヴァンパイア数を生成していくことができます。

また、一つのヴァンパイア数が複数の「牙」のペアを持つこともあります。例えば、最小の複数の牙を持つヴァンパイア数として以下が挙げられます。

2つの牙を持つ最小の数：125,460 （204 × 615 = 246 × 510）
3つの牙を持つ最小の数：13,078,260 （1620 × 8073 = 1863 × 7020 = 2070 × 6318）
* さらに多くの牙を持つ非常に大きなヴァンパイア数も見つかっています。

小さい方から順に並べると、1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, ... と続きます。

特殊なヴァンパイア数

ヴァンパイア数の特別な種類として、素ヴァンパイア数（prime vampire number）があります。これは、その二つの「牙」が両方とも素数であるヴァンパイア数です。この概念は、2002年にカルロス・リヴェラによって提唱されました。

素ヴァンパイア数の例としては、小さい方から順に117067, 124483, 146137, 371893, 536539, ... などがあります。2006年以降、ジェンス・アンダーセンらによって非常に大きな素ヴァンパイア数も発見されており、桁数は増え続けています。

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