ヴィラソロ代数

ヴィラソロ代数

概要

ヴィラソロ代数は、数学と物理学の分野において重要な役割を持つ無限次元の複素リー環です。特に、共形場理論や弦理論での応用が広がっており、その名は物理学者ミゲル・ヴィラソロに由来しています。この代数は、円周上に定義された多項式ベクトル場全体のリー環の中心拡大として表されます。

定義

ヴィラソロ代数は、次の交換関係を満たす可算無限個の元から生成されるリー代数です。交換関係は以下のように表されます：

[L_m, L_n] = (m - n)L_{m+n} + rac{c}{12} (m^3 - m)eta_{m+n, 0},

[C, L_n] = 0

ここで元は数直線上のすべての整数の組み合わせにより定義され、Cはセントラルチャージです。この定義により、ヴィラソロ代数は円周上の実多項式場の成す実リー環の中心拡大として位置づけることができます。

性質

ヴィラソロ代数は、共形群の生成元を包含するエネルギー・運動量テンソルと関係しています。これにより、2つのヴィラソロ代数の直積の交換関係に従う性質が得られます。共形群の微分同相不変性は、エネルギー・運動量テンソルが消えることを意味し、これをヴィラソロ制限と呼びます。量子化された理論においては、この制限が物理的な状態において成り立ちます。

表現論

最高ウェイト表現

最高ウェイト表現は、特定の条件を満たすベクトルによって生成される空間です。具体的には、以下の条件を持つベクトル v_hがあるとき：

L_0 v_h = h v_h,

L_n v_h = 0 (n ≥ 1)

このとき、hは複素数で最高ウェイトと呼ばれ、v_hはその最高ウェイトベクトルです。 ヴィラソロ代数の最高ウェイト表現は、以下のような形で記述できます。

L_{-n_1}L_{-n_2} \cdots L_{-n_l} v_h

これは異なるレベルのベクトルが線形独立であれば、ヴァーマ加群と呼ばれる表現が得られます。

カッツ行列

最高ウェイト表現の構造はカッツ行列によって理解されます。レベルNのカッツ行列は、特定の内積を持つ行列であり、その行列式はヴィラソロ代数の中心と関連しています。これにより、特定の条件を満たす場合に無限個の特異ベクトルが得られ、それらの生成する部分加群による構成ができます。

特異ベクトル

特異ベクトルは、特に重要な役割を果たすベクトルであり、最高ウェイトが特定の値を取る場合に存在します。このベクトルはヴィラソロ代数を自由場表示することによって、ヤング図形に一致することが知られており、既約性の判定にも用いられます。

ユニタリ表現

最高ウェイト表現がユニタリであるためには内積が正定値でなければなりません。ここで、実数の固有値を持つ既約表現について条件が設定され、特定のパラメータに基づいて分析が行われます。特にユニタリ既約表現は、特定の条件を満たすときに存在し、これはピアノ模型や関連する理論に応じた構成に由来します。

結論

ヴィラソロ代数はその深い数学的構造と物理的意義から様々な分野で重要視されており、共形場理論や弦理論など多くの適用が期待されています。さらに、特異ベクトルやユニタリ表現などの概念は、その適用範囲を広げる要素となっています。

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