一般共変性原理

一般共変性原理（principle of general covariance）とは、20世紀初頭にアルベルト・アインシュタインがその代表作である一般相対性理論を構築する上で重要な指針とした考え方の一つです。この原理が物理学にもたらした影響は大きく、時空の構造や重力の理解に革命をもたらしました。

原理の核心

この原理が主張するのは、物理法則がどのような座標系を使って記述されても、その形式（数学的な方程式の形）が変わらないべきである、ということです。私たちは日常、物体の位置や運動を記述する際に、特定の座標系（例えば、部屋の角を原点とする直交座標系など）を選びます。しかし、選ぶ座標系によって物理法則の記述形式が変わってしまうようでは、それは座標系の都合に依存した見かけ上の法則に過ぎず、物理現象そのものの普遍的な性質を捉えているとは言えません。

一般共変性原理は、この問題を解決するために提唱されました。それは、「物理法則は、どのような座標系（加速度運動する座標系や、時空が曲がった場所で設定された座標系など、より一般的な座標系も含む）を選んでも、常に同じ数学的な形式で表現されなければならない」と要求するものです。これは、数学的には「一般座標変換」と呼ばれる、ある座標系から全く異なる性質を持つ別の座標系への変換を行っても、物理法則を表す方程式の見た目が変化しない、ということと同義です。

数学的表現と一般相対性理論

この原理を数学的に満たすためには、物理法則を記述する際に特定の数学的ツールが必要になります。それが「テンソル」と「共変微分」です。テンソルは、座標変換に対してその成分が特定のルールに従って変換される量であり、物理法則が座標系に依存しない形式を持つことを保証するのに非常に適しています。例えば、ベクトルは一次のテンソルであり、どんな座標系で見ても「方向」と「大きさ」という本質的な性質は変わりません。同様に、エネルギーや運動量を表すエネルギー・運動量テンソルなどは、時空上での物理量の分布や流れを座標によらず表現するために不可欠です。

また、一般相対性理論が扱う時空は、重力の存在によって曲がっています。曲がった時空の上で物理量の変化率（微分）を考える際には、単なる普通の微分では不十分です。時空の曲がりを考慮して、局所的な座標系の取り方によらずに定義できる微分操作が必要となり、それが共変微分です。一般共変性原理は、物理法則がテンソルと共変微分を用いて記述されるべきである、という数学的な要請へと繋がります。

アインシュタインは、この一般共変性原理を指針の一つとして、重力を含む普遍的な物理法則、すなわち一般相対性理論を構築しました。重力場が時空の曲がりとして表現されるこの理論は、一般共変性原理を満たすテンソル方程式（アインシュタイン方程式）によって記述されています。

原理の歴史と現代的視点

ただし、アインシュタインが当初考えたこの原理の形式的な側面については、後に物理学者クレッチマン（Erich Kretschmann）によって指摘がなされました。クレッチマンは、どんな物理法則でも形式的には一般共変的な形で記述することが可能であることを示し、単に形式が不変であることだけでは、その物理法則が本当に座標系に依存しない普遍的な性質を持っていることを保証するわけではない、と主張しました。この指摘により、一般共変性原理が物理学において持つ意味合いについては、より深い考察が必要となりました。

現在では、一般共変性原理には複数の解釈が与えられています。単なる形式的な記述の不変性だけでなく、物理理論が背景となる時空構造に依存しない形で定式化されているべきだという「背景独立性」の考え方や、理論の持つ対称性（特に微分同相写像に対する不変性）と関連付けられるなど、その意味するところは豊かになっています。

一般相対性原理との関係

一般共変性原理と混同されやすいものに、アインシュタインが同じく相対性理論の基盤とした「一般相対性原理」があります。特殊相対性理論では、物理法則がすべての慣性系で同じ形式であるという「特殊相対性原理」が成り立ちます。これをさらに拡張し、重力による加速度が生じる非慣性系も含め、すべての観測者（座標系）に対して物理法則が同じ形式であるべきだ、というのが一般相対性原理です。

一般共変性原理は、この一般相対性原理のような物理的な主張を数学的に実現するための「形式」に関する要請と見ることができます。つまり、一般共変的な数学的記述形式を用いることで、物理的な一般相対性原理を満たすような理論を構築することが可能になる、という関係性です。一般相対性理論は、一般共変性原理と一般相対性原理、そして等価原理という三つの柱によって支えられています。

重力を含む宇宙の記述において、一般共変性原理は理論の定式化において不可欠な役割を果たしており、時空そのものが動的な物理量であることを理解する上での数学的な基盤となっています。その深い意味合いは、現代物理学においてもなお探求されています。

もう一度検索