微分同相写像

微分同相写像とは

数学における微分同相写像（diffeomorphism）とは、滑らかな多様体（可微分多様体）の間の特別な写像です。具体的には、ある多様体を別の多様体に写す可逆な関数で、関数自体とその逆関数がともに滑らかであるものを指します。これは多様体の構造を保つ重要な概念です。

定義

二つの多様体MとNがあるとき、可微分写像 f: M → N が以下の条件を満たすとき、fは微分同相写像であるといいます。

1. 全単射性: fは全射かつ単射であること。（つまり、Mのすべての点がNのただ一つの点に対応し、Nのすべての点がMのただ一つの点に対応する。）
2. 可微分性: fは可微分であること（滑らかさを持つこと）
3. 逆関数の可微分性: fの逆写像 f⁻¹: N → M も可微分であること（逆写像も滑らかさを持つこと）

もし関数 f が r 回連続微分可能であれば、f は Cr級微分同相写像 と呼ばれます。

多様体MとNが微分同相であるとは、MからNへの微分同相写像が存在することを意味し、M ≃ N と表記されます。Cr級微分同相であるとは、両方向の写像がr回連続微分可能であることを意味します。

多様体の部分集合における微分同相写像

多様体Mの部分集合Xと多様体Nの部分集合Yについて、関数 f: X → Y が滑らかであるとは、Xのすべての点pに対して、pの近傍U ⊂ Mと滑らかな関数 g: U → N が存在し、U ∩ X 上で f と g が一致することを指します。


g_{|U∩X} = f_{|U∩X}


このとき、fが全単射で滑らかであり、かつ逆関数も滑らかであるとき、fは微分同相写像となります。

局所的な記述

Rnの連結開部分集合U、Vがあり、Vが単連結である場合、可微分写像 f : U → V が微分同相写像であるためには、次の条件を満たす必要があります。

1. 固有写像であること: 写像がコンパクト集合をコンパクト集合に対応させること。
2. 微分が全単射であること: 各点 x ∈ U において、微分 Dfx : Rn → Rn が全単射であること。

Remark 1: Vが単連結であることは、関数fが大域的に可逆となるための重要な条件です。例えば、複素平方関数の実数化


f: R²\{(0,0)} → R²\{(0,0)}
(x,y) ↦ (x² - y², 2xy)


を考えると、これは全射であり、すべての点でヤコビ行列式が0でないため微分は全単射ですが、f(1,0) = f(-1,0)であるため単射でなく、可逆ではありません。

Remark 2: 各点での微分 Dfx は線形写像であり、Dfx が全単射であることと逆関数を持つことは同値です。ヤコビ行列は、一階偏微分からなる行列で、計算に用いられます。

Remark 3: 微分同相写像は同じ次元の多様体間でのみ可能です。n次元からk次元への写像の場合、n≠kならば全単射にはなりません。

Remark 4: Dfxがxで全単射であれば、fは局所微分同相写像です。なぜなら、連続性により、xに近いすべてのyでもDfyが全単射となるからです。

Remark 5: 次元nからkへの滑らかな写像で、Df（またはDfx）が全射の場合、fは沈め込み（submersion）（または局所沈め込み）、単射の場合、fははめ込み（immersion）（または局所はめ込み）と呼ばれます。

Remark 6: 可微分全単射が常に微分同相写像であるわけではありません。例えば、f(x) = x³は微分が0で消えるため微分同相写像ではありません。

Remark 7: 微分同相写像は同相写像よりも強い条件です。微分同相写像は関数とその逆関数が可微分である必要がありますが、同相写像では連続であることのみが要求されます。したがって、すべての微分同相写像は同相写像ですが、逆は必ずしも成り立ちません。

例

例1

f(x, y) = (x² + y³, x² - y³)


この関数のヤコビ行列は次のようになります。


Jf = 2x, 3y²], [2x, -3y²


ヤコビ行列式が0となるのはxy=0のときのみであり、x軸とy軸から離れた部分では微分同相写像となります。

例2

g(x,y) = (a0 + a1,0x + a0,1y + ..., b0 + b1,0x + b0,1y + ...)


ここで、aᵢ,ⱼ、bᵢ,ⱼは実数であり、省略された項はxとyにおいて次数が2以上です。この関数の原点におけるヤコビ行列は次のようになります。


Jg(0,0) = a1,0, a0,1], [b1,0, b0,1


gが0で局所微分同相写像であるための必要十分条件は、a1,0b0,1 - a0,1b1,0 ≠ 0となることです。これは、gの成分の線形項が線形独立であることを意味します。

例3

h(x, y) = (sin(x² + y²), cos(x² + y²))


この関数のヤコビ行列は次のようになります。


Jh = 2xcos(x²+y²), 2ycos(x²+y²)], [-2xsin(x²+y²), -2ysin(x²+y²)


この行列式はすべての点で0になります。実際、hの像は単位円になります。

微分同相写像の群

多様体Mの微分同相写像群Diff(M)は、Mからそれ自身へのすべてのCr微分同相写像の群です。これは、Mが0次元でない場合は「大きい」群です。Diff(M)には、弱位相と強位相の二つの自然な位相が定義されます。

位相

弱位相: 多様体がコンパクトなとき、弱位相と強位相は一致します。弱位相は常に距離化可能です。

強位相: 多様体がコンパクトでないとき、強位相は距離化可能ではありませんが、ベール空間です。

リー代数

微分同相写像群のリー代数は、多様体M上のすべてのベクトル場からなり、ベクトル場のリーブラケットを備えています。これは、座標xに微小な変化を加えることで理解できます。


xµ → xµ + εhµ(x)


このとき、無限小生成子はベクトル場になります。


Lh = hµ(x)∂/∂xµ

例

リー群Gの場合、左平行移動を通じてDiff(G)にGが自然に含まれます。
ユークリッド空間Rnの微分同相写像群は、向きを保つものと逆にするものの2つの成分からなります。
点の有限集合における微分同相写像群は単に対称群です。
多様体Mの場合、0 → Diff0(M) → Diff(M) → Σ(π0(M)) が存在し、Diff0(M)はMのすべての成分を保存するDiff(M)の部分群です。

推移性

連結多様体Mに対して、微分同相写像群はM上で推移的に作用します。より一般的には、設定空間CkM上で推移的に作用し、Mの次元が2以上であれば、配置空間FkM上でも推移的に作用します。

微分同相写像の拡張

1926年、Tibor Radóは単位円から単位円板への同相写像の調和拡大が開円板上の微分同相写像を生むかどうかを問いました。これはヘルムート・クネーザーによって証明されました。

円の（向きを保つ）微分同相写像群は弧状連結であり、任意の微分同相写像は実数全体の微分同相写像に持ち上げることができます。

高次元球面Sn-1の微分同相写像の拡張問題は、1950年代と1960年代に研究され、有限アーベル群Γnによって与えられる障害が発見されました。

連結性

多様体において、微分同相写像群は通常連結ではありません。その成分群は写像類群と呼ばれ、次元2では有限表示群となります。

ウィリアム・サーストンは、写像類群の元を分類し、周期的、単純閉曲線を不変にするもの、擬アノソフ型に分類しました。

ホモトピー型

S2の微分同相写像群はO(3)のホモトピー型を持ちます。
トーラスの微分同相写像群はS1 × S1 × GL(2, Z)のホモトピー型を持ちます。
種数g > 1の向き付け可能な曲面の微分同相写像群は、写像類群のホモトピー型を持ちます。

n > 3の場合、n次元多様体の微分同相写像群のホモトピー型は十分に理解されていません。

同相写像と微分同相写像

微分同相写像ではない同相写像を見つけるのは容易ですが、微分同相ではない同相多様体を見つけるのは困難です。1、2、3次元では同相で滑らかな多様体の任意の対は微分同相ですが、4次元以上では、同相でも微分同相ではない例が見つかっています。ジョン・ミルナーは7次元で最初のそのような例を構成しました。

4次元多様体ではさらに極端な現象が起こり、エキゾチックR4が存在します。

関連項目

エタール射
Large diffeomorphism
局所微分同相写像
Superdiffeomorphism

出典

Chaudhuri, Shyamoli, Hakuru Kawai and S.-H Henry Tye. "Path-integral formulation of closed strings," Phys. Rev. D, 36: 1148, 1987.
Banyaga, Augustin (1997), The structure of classical diffeomorphism groups, Mathematics and its Applications, 400, Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8 
Duren, Peter L. (2004), Harmonic Mappings in the Plane, Cambridge Mathematical Tracts, 156, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7 
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Diffeomorphism”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Diffeomorphism 
Hirsch, Morris (1997), Differential Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90148-0 
Kriegl, Andreas; Michor, Peter (1997), The convenient setting of global analysis, Mathematical Surveys and Monographs, 53, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0780-3 
Leslie, J. A. (1967), “On a differential structure for the group of diffeomorphisms”, Topology. an International Journal of Mathematics 6 (2): 263–271, doi:10.1016/0040-9383(67)90038-9, ISSN 0040-9383, MR0210147 
Milnor, John W. (2007), Collected Works Vol. III, Differential Topology, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4230-7 
Omori, Hideki (1997), Infinite-dimensional Lie groups, Translations of Mathematical Monographs, 158, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4575-6 
* Kneser, Hellmuth (1926), “Lösung der Aufgabe 41.” (German), Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 35 (2): 123. 

もう一度検索