不連続性の分類

不連続性の概要

連続関数は、数学やその応用で重要な役割を果たしますが、すべての関数が連続であるわけではありません。関数がその定義域内のある点で連続でない場合、その関数には不連続性が存在します。これによって生じる不連続点は、離散的な集合を形成することもあれば、稠密な集合として現れることもあります。場合によっては、関数が定義域全体で不連続であることもあります。

この文書では、実数値を持つ単純な一変数関数における不連続性の分類を詳述します。

不連続性の分類

実数値関数 f が点 x = x0 の近傍で定義されているとき、例えば次のような極限を考慮します。

• - 左側からの極限：

$$ L^{-} = ext{lim}_{x o x_{0}^{-}} f(x) = f(x_{0} - 0) $$

• - 右側からの極限：

$$ L^{+} = ext{lim}_{x o x_{0}^{+}} f(x) = f(x_{0} + 0) $$

もし L− と L+ が等しい場合、その値を L と定義します。

1. 可除不連続点

L− と L+ が共に有限で等しいが、f(x0) の値が L とは異なるとき、点 x0 は「除去可能な不連続点」を持つと呼ばれます。この場合、f(x0) の値を調整することで、関数は x = x0 においても連続にすることができます。

2. 跳躍不連続点

L− と L+ が共に有限であるものの等しくない場合は、「跳躍不連続点」となります。この場合、不連続性は f(x0) の値に依存しませんが、どちらかの側からは連続に保つことが可能です。

3. 真性不連続点

L− または L+ のいずれかが無限または存在しない場合、これは真性不連続点、または無限不連続点と呼ばれます。複素数の場合の用語は異なるため注意が必要です。

不連続点の総称

除去可能不連続点と跳躍不連続点は「第一種不連続点」と総称されます。それに対し、片側極限のいずれかが存在しない場合は「第二種不連続点」とされます。

具体例

以下に不連続性の具体例を示します。

1. 除去可能不連続点の例
関数 f(x) を以下のように定義します：
$$ f(x) = \begin{cases} x^{2} & \text{for } x < 1 \\ 0 & \text{for } x = 1 \\ 2 - x & \text{for } x > 1 \end{cases} $$
この場合、x0 = 1 は可除不連続点です。

2. 跳躍不連続点の例
別の関数 f(x) を次のように定義します：
$$ f(x) = \begin{cases} x^{2} & \text{for } x < 1 \\ 0 & \text{for } x = 1 \\ 2 - (x - 1)^{2} & \text{for } x > 1 \end{cases} $$
この場合、x0 = 1 は跳躍不連続点です。

3. 真性不連続点の例
さらに、次の関数 f(x) を考えます：
$$ f(x) = \begin{cases} \sin\left(\frac{5}{x - 1}\right) & \text{for } x < 1 \\ 0 & \text{for } x = 1 \\ \frac{0.1}{x - 1} & \text{for } x > 1 \end{cases} $$
x0 = 1 は真性不連続点に該当します。

関数の不連続点の集合

関数の連続点の全体は開集合の可算個の交わり、これに対して不連続点の集合は閉集合の可算個の合併からなるとされています。さらに、単調関数における不連続点は高々可算であり、これはフローダの定理によって示されています。

トマエ関数は有理数の点で不連続ですが、無理数の点で連続する特異な性質を持っています。ディリクレ関数も、全ての有理数の点で不連続であることが知られています。

参考文献

• - Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical analysis, 2nd ed. New York: Wiley.

数学の不連続性についての理解は、これらの基礎概念を抑えることで、より深めることができるでしょう。

もう一度検索