定義域

写像の定義域とは

数学における写像（関数）において、定義域とは、その写像が値を返すことができる入力値全体の集合のことです。これは、写像が機能するための「入力」が取りうる範囲を定めます。例えば、実数を扱う関数では、実数全体が定義域となることもあれば、特定の範囲の数値のみが定義域となることもあります。

定義域、始域、終域

写像 f: A → B が与えられたとき、

A を f の始域（または域、domain）と呼びます。
B を f の終域（または余域、codomain）と呼びます。

さらに、始域 A の部分[[集合]]で、写像 f によって値が定義される入力値の集合を、定義域（domain of definition）と呼びます。写像においては、始域と定義域は同じ集合を指すことが多いため、区別せずに使われることもあります。しかし、部分写像（すべての入力値に対して値が定義されない写像）の場合は、定義域は始域の部分[[集合]]となります。

写像 f: A → B において、A の各要素 x に対する出力値を f(x) と表記するとき、x は f の引数、f(x) は f の x における値、あるいは x の f による像と呼ばれます。また、f の値域（または像）は、定義域 A の各要素の像 f(x) 全体の集合 f(A) = {f(x) ∈ B | x ∈ A} です。

定義域の制限と延長

定義域は、必要に応じてその部分[[集合]]に制限することができます。写像 g: A → B があるとき、S ⊆ A に対して、g を S に制限した写像を g|S: S → B と表記します。逆に、写像 f: S → B があり、f = g|S を満たす g: A → B が存在するとき、g は f の A への延長（または拡張）であるといいます。

自然な定義域

数式で表された写像には、自然な定義域が存在します。これは、その数式が（例えば、実数、整数、複素数などの中で）意味を持つ最大の入力値の集合です。例えば、平方根関数の自然な定義域は、実数関数として扱う場合は非負の実数全体の集合です。また、特に定義域を明示せずに値域について語られる場合、それは通常、自然な定義域を前提とした値域を指します。

例

例えば、関数 f(x) = 1/x を考えてみましょう。この関数は x = 0 では定義されないため、実数全体の集合 R を定義域とすることはできません。このような場合、R \\ {0}（0を除く実数全体の集合）を自然な定義域とすることがあります。また、次のように f(0) を明示的に定義して、定義域を実数全体に拡張することもできます。

math
f(x) = \begin{cases} 1/x & (x
eq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}


このような定義域の拡張は、関数の性質を変化させる可能性があり、特に連続性や微分可能性などの性質が失われることがあります。このような特異点は、場合によっては解消できる場合もあり、複素解析ではこのような特異点を可除特異点と呼びます。

部分写像と稠密に定義された写像

関数解析学では、始域の一部でのみ値が定義される部分写像も扱われます。部分写像 f: X → Y において、定義域 D(f) が始域 X で稠密であるとき、f は稠密に定義されているといいます。このような部分写像は、解析学において重要な役割を果たします。

注意点

写像 f: X → Y の場合、始域 X のすべての要素 x に対して f(x) が定義されるため、始域と定義域を区別する必要は通常ありません。しかし、部分写像の場合は、定義域が始域の部分[[集合]]となるため、両者を区別する必要があります。現代数学では、部分写像の domain は定義域を指すことが多く、これは f: X′ → Y が写像となるような最大の X の部分[[集合]] X′ を意味します。

一方、圏論では、写像の代わりに射（対象間の矢印）を扱います。射の domain は、矢印の出発点となる対象を指し、矢印の終点は codomain と呼ばれます。この文脈では、domain は定義域の意味とは異なるため、注意が必要です。特に、射が部分写像に対応する場合、圏論的な domain の概念は集合論的な domain の概念とは異なります。

まとめ

写像の定義域は、その写像が値を返すことができる入力値の範囲を定める重要な概念です。定義域、始域、終域、値域といった概念を正確に理解することで、写像をより深く理解することができます。

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