中華料理店過程

中華料理店過程

中華料理店過程（Chinese restaurant process、略称CRP）は、確率論の中で興味深い分散パターンを示すモデルです。この過程は、顧客がテーブルに着席する様子を通して、確率分布や分割の概念を直感的に理解する手助けをします。

定義

想像してみてください。無限の円卓が並ぶ中華料理店を訪れるチャンスがあったとしましょう。最初の客である「客1」は、誰も座っていない円卓に確実に着席します。次に到着する「客2」は、すでに座っている客のいるテーブルに着座する可能性が高く、また他の誰も座っていないテーブルに座ることもあります。このように、後から来る客は、自分がどのテーブルに座るかを他の客の配置を見て決定します。

数式で表すと、時刻n+1での客の分割Bnは以下のように計算されます。もし分割Bnがm個の部屋（テーブル）から成るなら、各部屋のサイズを|bi|、i=1,…,mとした場合、以下の確率で新たな顧客が各テーブルに座ります。

• - |bi|/(n+1)の確率で、そのテーブルにもう一人追加。
• - 確率1/(n+1)で、新しいテーブルが追加されます。

このようなルールのもと、ラベルを付け直しても、分割が生成される確率は変化しません。これは、過程が「不変性」を持つことを意味しています。

一般化

さらに、中華料理店過程は二つのパラメータ、割引率のαと強度のθを導入することで一般化できます。具体的には、新しく来た客がすでにあるテーブルに座る確率や、まだ誰も座っていないテーブルに座る確率が次のように定義されます。

• - まだ空いているテーブルに着座する確率：

$$\frac{\theta + |B|\alpha}{n+\theta}$$

• - すでに人数が|b|人のテーブルに座る確率：

$$\frac{|b| - \alpha}{n+ \theta}$$

このため、これらのパラメータが特定の条件を満たす必要があります。たとえば、α<0かつθ=-Lαの形式を考慮しなければなりません。

このモデルに基づくと、n人の客についての各々の分割には次の確率が関連付けられます。

$$\mathrm{Pr}(B_{n} = B) = \frac{(\theta + \alpha)_{|B|-1, \alpha}}{(\theta + 1)_{n-1, 1}}\prod_{b \in B}(1-\alpha)_{|b|-1, 1}$$
ここで、ガンマ関数を用いて、この確率の形を理解することができます。

たとえば、時にはパラメータが一つ（α=0）や特定の場合（θ=0）まで簡略化することも可能です。これにより、各分割が持つ確率はその中に含まれる要素の大きさにのみ依存していることが分かります。したがって、テーブルの順番が変わっても、そのテーブルが保持する配置には変化が生じません。

結論

中華料理店過程は、単なる確率モデルを超え、統計的分割やそのルールの理解に貢献します。確率論における分割の概念を直感的に捉え、新しい視点を提供するこの過程は、さまざまな理論の基盤を形成しています。

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