乗算作用素
乗算作用素
数学の分野、特に作用素論において、乗算作用素は関数空間上で定義される線形作用素の一種です。この作用素は、関数を入力として受け取り、それを別の固定された関数との積に変換する働きをします。言い換えると、ある関数 $\varphi$ に対する乗算作用素 $T$ の作用は、あらかじめ定められた関数 $f$ を用いて、出力関数が各点 $x$ において $f(x) \cdot \varphi(x)$ という形で与えられることを意味します。これを数式で表すと次のようになります。
$$T(\varphi)(x) = f(x) \varphi(x)$$
ここで、$\varphi$ は考えられている関数空間に含まれる任意の関数であり、$x$ はその関数の定義域内の任意の点です。関数 $\varphi$ と関数 $f$ の定義域は通常一致します。この場合の関数 $f$ を「乗算関数」と呼びます。
乗算作用素は、関数空間上の線形作用素の中でも特に基本的なものの一つです。行列によって表現される作用素と比較すると、これは対角行列による作用に相当する概念を、より一般的な関数空間へと拡張したものと見なすことができます。これに対し、関数の入力値を変換する作用素は「合成作用素」と呼ばれ、乗算作用素とは異なる性質を持ちます。
乗算作用素は、関数解析学における極めて重要な結果であるスペクトル定理において中心的な役割を担います。スペクトル定理は、特にヒルベルト空間上の自己共役作用素が、適切なLp空間（具体的にはL²空間）上の乗算作用素と「ユニタリ同値」であることを示しています。これは、複雑な自己共役作用素の性質を、比較的扱いやすい乗算作用素の性質を通じて理解できるという点で非常に強力な結果です。
具体的な例として、区間 $[-1, 3]$ 上で定義された複素数値の二乗可積分関数全体からなるヒルベルト空間 $X = L^2[-1, 3]$ を考えます。ここで、次のような作用素 $T$ を定義してみましょう。
$$T(\varphi)(x) = x^2 \varphi(x)$$
これは、関数 $\varphi$ に、変数 $x$ の二乗である関数 $f(x) = x^2$ を掛け合わせるという作用素です。この作用素 $T$ は、自己共役かつ有界な線形作用素であることが知られています。この作用素の「作用素ノルム」は、乗算関数 $f(x)=x^2$ が定義域 $[-1, 3]$ 上で取る値の絶対値の最大値、すなわち $|(-3)^2| = 9$ となります。
また、作用素の「スペクトル」とは、作用素が可逆でなくなるような値の集合のことです。この例における作用素 $T$ のスペクトルは、乗算関数 $f(x) = x^2$ が定義域 $[-1, 3]$ において取り得る値の範囲、すなわち区間 $[0, 9]$ と一致します。これは、任意の複素数 $\lambda$ に対して、作用素 $T - \lambda$ が次のように定義されることから理解できます。
$$(T - \lambda)(\varphi)(x) = (x^2 - \lambda) \varphi(x)$$
この作用素 $T - \lambda$ が可逆であるためには、$x^2 - \lambda$ が定義域 $[-1, 3]$ 内のほとんど全ての点 $x$ でゼロにならないことが必要十分です。これは、$\lambda$ が関数 $x^2$ の値域 $[0, 9]$ に含まれないことと同値です。そして、$\lambda$ が $[0, 9]$ に含まれない場合の逆作用素 $(T - \lambda)^{-1}$ は、次のような形になります。
$$(T - \lambda)^{-1}(\varphi)(x) = \frac{1}{x^2 - \lambda} \varphi(x)$$
この逆作用素もまた、乗算関数 $\frac{1}{x^2 - \lambda}$ を持つ乗算作用素の形をしています。
上述の例で示した作用素のノルムやスペクトルを特徴づける議論は、L²空間だけでなく、より一般的なLp空間上の乗算作用素に対しても同様に拡張することができます。
関連する概念としては、関数の定義域をずらす「平行移動作用素」や、数列の項をずらす「シフト作用素」などがあります。また、作用素をより単純な要素に分解して理解しようとする「スペクトル分解」も乗算作用素と深く関連する分野です。
数学の分野、特に作用素論において、乗算作用素は関数空間上で定義される線形作用素の一種です。この作用素は、関数を入力として受け取り、それを別の固定された関数との積に変換する働きをします。言い換えると、ある関数 $\varphi$ に対する乗算作用素 $T$ の作用は、あらかじめ定められた関数 $f$ を用いて、出力関数が各点 $x$ において $f(x) \cdot \varphi(x)$ という形で与えられることを意味します。これを数式で表すと次のようになります。
$$T(\varphi)(x) = f(x) \varphi(x)$$
ここで、$\varphi$ は考えられている関数空間に含まれる任意の関数であり、$x$ はその関数の定義域内の任意の点です。関数 $\varphi$ と関数 $f$ の定義域は通常一致します。この場合の関数 $f$ を「乗算関数」と呼びます。
乗算作用素は、関数空間上の線形作用素の中でも特に基本的なものの一つです。行列によって表現される作用素と比較すると、これは対角行列による作用に相当する概念を、より一般的な関数空間へと拡張したものと見なすことができます。これに対し、関数の入力値を変換する作用素は「合成作用素」と呼ばれ、乗算作用素とは異なる性質を持ちます。
乗算作用素は、関数解析学における極めて重要な結果であるスペクトル定理において中心的な役割を担います。スペクトル定理は、特にヒルベルト空間上の自己共役作用素が、適切なLp空間（具体的にはL²空間）上の乗算作用素と「ユニタリ同値」であることを示しています。これは、複雑な自己共役作用素の性質を、比較的扱いやすい乗算作用素の性質を通じて理解できるという点で非常に強力な結果です。
具体的な例として、区間 $[-1, 3]$ 上で定義された複素数値の二乗可積分関数全体からなるヒルベルト空間 $X = L^2[-1, 3]$ を考えます。ここで、次のような作用素 $T$ を定義してみましょう。
$$T(\varphi)(x) = x^2 \varphi(x)$$
これは、関数 $\varphi$ に、変数 $x$ の二乗である関数 $f(x) = x^2$ を掛け合わせるという作用素です。この作用素 $T$ は、自己共役かつ有界な線形作用素であることが知られています。この作用素の「作用素ノルム」は、乗算関数 $f(x)=x^2$ が定義域 $[-1, 3]$ 上で取る値の絶対値の最大値、すなわち $|(-3)^2| = 9$ となります。
また、作用素の「スペクトル」とは、作用素が可逆でなくなるような値の集合のことです。この例における作用素 $T$ のスペクトルは、乗算関数 $f(x) = x^2$ が定義域 $[-1, 3]$ において取り得る値の範囲、すなわち区間 $[0, 9]$ と一致します。これは、任意の複素数 $\lambda$ に対して、作用素 $T - \lambda$ が次のように定義されることから理解できます。
$$(T - \lambda)(\varphi)(x) = (x^2 - \lambda) \varphi(x)$$
この作用素 $T - \lambda$ が可逆であるためには、$x^2 - \lambda$ が定義域 $[-1, 3]$ 内のほとんど全ての点 $x$ でゼロにならないことが必要十分です。これは、$\lambda$ が関数 $x^2$ の値域 $[0, 9]$ に含まれないことと同値です。そして、$\lambda$ が $[0, 9]$ に含まれない場合の逆作用素 $(T - \lambda)^{-1}$ は、次のような形になります。
$$(T - \lambda)^{-1}(\varphi)(x) = \frac{1}{x^2 - \lambda} \varphi(x)$$
この逆作用素もまた、乗算関数 $\frac{1}{x^2 - \lambda}$ を持つ乗算作用素の形をしています。
上述の例で示した作用素のノルムやスペクトルを特徴づける議論は、L²空間だけでなく、より一般的なLp空間上の乗算作用素に対しても同様に拡張することができます。
関連する概念としては、関数の定義域をずらす「平行移動作用素」や、数列の項をずらす「シフト作用素」などがあります。また、作用素をより単純な要素に分解して理解しようとする「スペクトル分解」も乗算作用素と深く関連する分野です。
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