予測子修正子法

予測子修正子法の概説

予測子修正子法（Predictor-Corrector Method）は、常微分方程式の初期値問題における数値解法の一種で、特に線形多段法に分類されます。この手法は、まず予測子によって得られた近似値に基づき、次に修正子によってその近似を改善するという二段階のプロセスを採用しています。広く知られている予測子修正子法には、Heunの中点法、Milne-Simpson法、Adams-Moulton法などが含まれます。

初期値問題の定義

常微分方程式の初期値問題とは、次のような一般的な形で表されます。
\[
\frac{du}{dt} = f(t, u)
\]
\[
u(t_0) = u_0
\]
ここで、$f(t, u)$は未知数 $u$ の微分関数であり、$t_0$ は初期時刻、$u_0$ は初期値を示します。この初期値問題に対する厳密解は、次の積分方程式を満たす必要があります。
\[
u(t_N) - u(t_M) = \int_{t_M}^{t_N} f(t, u(t)) \, dt
\]
また、用いる近似方法によって得られる数値解は、単位間隔$h$で刻んでアダムス型公式を用いることで得られます。

アダムス型公式

このアダムス型公式は、次のように表現されます。
\[
v_{n+1} - v_n = \int_{t_n}^{t_{n+1}} g_p(t) \, dt
\]
ここで、$g_p(t)$はラグランジュ補間公式に基づく被積分関数で、$p$個の標本点において値を取ります。この標本点の選び方によって、アダムス・バシュフォース（Adams-Bashforth）公式やアダムス・ムルトン（Adams-Moulton）公式が得られます。

アダムス・バシュフォース公式とアダムス・ムルトン公式

アダムス・バシュフォース公式は、次のように$p$次の多項式として表されます。この公式は、過去の時点での値をもとに次の値を計算する外的な手法です。一方、アダムス・ムルトン公式は、次のように記述され、計算には未知値が必要であるため、反復法を用いることが多いです。

アダムス・バシュフォース公式：
\[
v_{n-p+1}, v_{n-p+2}, \ldots, v_n を用いて v_{n+1} を計算。
\]
アダムス・ムルトン公式：
\[
v_{n-p+2}, v_{n-p+3}, \ldots, v_n, v_{n+1} を用いて v_{n+1} を計算。
\]

予測子修正子法では、陽公式で得られた近似値を基に、その後陰公式を使用して修正を行うことが多く、その際、陽公式を「予測子」、陰公式を「修正子」と称します。この手法によって、数値解の精度を向上させることが可能となります。

まとめ

予測子修正子法は、偏微分方程式や数値解析において非常に重要な役割を果たしており、その多様な手法は様々な応用に適しています。安定性については、特にAdams-Moulton法が優れた特性を持ち、Milne-Simpson法は注意が必要な安定性問題が報告されています。これらの手法の理解は、数値解析を学ぶ上で不可欠であり、実際の問題解決に向けた重要なスキルとなるでしょう。

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