事後確率

事後確率について

事後確率（じごかくりつ、英: posterior probability）とは、与えられた証拠を考慮した条件付き[[確率]]を指します。これはアポステリオリ確率とも呼ばれ、変数に関する確率を更新するための手法として、特にベイズ統計において重要な概念です。事後確率の計算にはベイズの定理が用いられます。

事前[[確率]]との関係

事後確率は、事前[[確率]]（証拠がない状態での不確実な確率）と尤度の積として表されます。ベイズの定理によれば、事前[[確率]]に新たな情報（尤度関数）を掛け合わせることで事後確率を算出できます。ここで「変数」とは、観測可能な確率変数だけでなく、観測できない隠れた変数、母数、仮説も含まれます。

例えば、土星の質量を示す変数xについて、新たな観測結果をもとに「xが定数αからβの間にある確率」を求めると、これが事後確率となります。頻度主義の観点からは、主観的な確率を認めないため意味のない表現ですが、ベイズ統計の枠組みの中で重要な役割を果たします。

具体例による理解

事後確率を理解するために、サイコロを使った簡単な例を考えてみましょう。Aさんがサイコロを2回振り、その結果を知らないBさんが「どちらかで2の目が出た確率は?」と尋ねたとします。サイコロが完全にランダムであれば、この確率は11/36になります。ここでは事前[[確率]]です。

次にAさんが「出た目の和は6だった」といった情報を提供すると、Bさんは2の目が出た確率を再評価し、今度は2/5となります。これが事後確率にあたります。このように、新たな情報に基づいて確率を再計算することが事後確率の特徴です。

モンティ・ホール問題

さらに興味深い例として、モンティ・ホール問題があります。ここでは3つのカーテンがあり、そのうち1つには「アタリ」、他の2つには「ハズレ」が隠されています。最初に何も情報がない場合、アタリを引く確率は1/3であり、これが事前[[確率]]です。

選択が終わった後、司会者が回答者の選択を外れた1つを示すと、初めに選んだカーテンがアタリの確率は1/3、残ったカーテンがアタリの確率は2/3に変わります。これが直観に反する事後確率です。

ベイズ推定の仕組み

事後確率と事前[[確率]]の関係において、事後確率は事前[[確率]]に新たな情報を追加することで計算できます。そして、このように推定を更新することをベイズ改訂（またはベイズ更新）と呼びます。例えば、事前[[確率]]分布に存在する尤度関数を掛け合わせ、正規化することによって事後確率分布を求めることができます。これにより、与えられたデータに基づくより精度の高い推定ができるのです。

まとめ

事後確率はベイズ統計の基礎であり、情報に基づいて確率を更新する手法です。事前[[確率]]との相互関係を理解することで、より深い分析や意思決定が可能になります。確率の世界における事後確率を利用することで、私たちは不確実性を管理し、より良い推論が行えるようになります。

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